Упр.105 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac12\tg 2x$$

Область определения:

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$D(f)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n;\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Область значений: $$E(f)=\mathbb R.$$

Функция нечётная.

Нули функции:

$$\frac12\tg 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; \tg 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; 2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \iff \tg 2x>0 \iff \frac{\pi}{2}n<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$f(x)<0 \iff \tg 2x<0 \iff -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n<x<\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция возрастает на каждом промежутке области определения, экстремумов не имеет.

б) $$f(x)=-3\cos\frac{3x}{2}$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$

Область значений:

$$-1\le \cos\frac{3x}{2}\le 1 \;\Longrightarrow\; -3\le -3\cos\frac{3x}{2}\le 3,$$

значит

$$E(f)=[-3;3].$$

Функция чётная.

Нули функции:

$$-3\cos\frac{3x}{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\frac{3x}{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \iff \cos\frac{3x}{2}<0 \iff \frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n<x<\pi+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$f(x)<0 \iff \cos\frac{3x}{2}>0 \iff -\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n<x<\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы достигаются при

$$\cos\frac{3x}{2}=-1 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и равны $$3.$$

Минимумы достигаются при

$$\cos\frac{3x}{2}=1 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и равны $$-3.$$

в) $$f(x)=-2\ctg\frac{x}{3}$$

Область определения:

$$\pi n<\frac{x}{3}<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$D(f)=(3\pi n;\,3\pi+3\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

Область значений: $$E(f)=\mathbb R.$$

Функция нечётная.

Нули функции:

$$-2\ctg\frac{x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \ctg\frac{x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

то есть

$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \iff \ctg\frac{x}{3}<0 \iff -\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{x}{3}<\pi n,$$

откуда

$$-\frac{3\pi}{2}+3\pi n<x<3\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$f(x)<0 \iff \ctg\frac{x}{3}>0 \iff \pi n<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

откуда

$$3\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция возрастает на каждом промежутке области определения, экстремумов не имеет.

г) $$f(x)=2{,}5\sin\frac{4x}{3}$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$

Область значений:

$$-1\le \sin\frac{4x}{3}\le 1 \;\Longrightarrow\; -2{,}5\le 2{,}5\sin\frac{4x}{3}\le 2{,}5,$$

значит

$$E(f)=[-2{,}5;2{,}5].$$

Функция нечётная.

Нули функции:

$$2{,}5\sin\frac{4x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\frac{4x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4x}{3}=\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{3\pi}{4}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \iff \sin\frac{4x}{3}>0 \iff 2\pi n<\frac{4x}{3}<\pi+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{3\pi}{2}n<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$f(x)<0 \iff \sin\frac{4x}{3}<0 \iff \pi+2\pi n<\frac{4x}{3}<2\pi+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}n<x<\frac{3\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы достигаются при

$$\sin\frac{4x}{3}=1 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и равны $$2{,}5.$$

Минимумы достигаются при

$$\sin\frac{4x}{3}=-1 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и равны $$-2{,}5.$$