Упр.104 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): а) $$y=\cos(2x)+\sin^2(x)$$; б) $$y=1-4\sin(3x)$$; в) $$y=\sin(x)-\cos(x)$$; г) $$y=1+|\operatorname{tg}(x)|$$.

Подробный ответ

а) $$y=\cos 2x+\sin^2 x$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$y=\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=\cos^2 x.$$

Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то наименьшее значение функции равно $$0,$$ а наибольшее — $$1.$$

б) $$y=1-4\sin 3x$$

Поскольку $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ получаем:

$$-4\le -4\sin 3x\le 4,$$

$$-3\le 1-4\sin 3x\le 5.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$5,$$ а наименьшее — $$-3.$$

в) $$y=\sin x-\cos x$$

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$y=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi}{4}-\cos x\sin \frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$y=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\sqrt{2},$$ наименьшее — $$-\sqrt{2}.$$

г) $$y=1+|\tg x|$$

Так как $$|\tg x|\ge 0,$$ то

$$y\ge 1.$$

Наименьшее значение функции равно $$1.$$ Наибольшего значения нет, так как $$|\tg x|$$ не ограничено сверху.