Упр.104 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

104. Пользуясь результатом задачи 103, решите уравнение:
     а) $$2x^3-x^2+x+1=0$$;
     б) $$10x^3-3x^2-2x+1=0$$;
     в) $$x^4+x^3+x^2-x-2=0$$;
     г) $$2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=0$$.

Решим уравнения, разложив многочлены на множители.

1. $$2x^3-x^2+x+1=0$$

   Проверяем корень $$x=-\frac12$$ и получаем разложение:

   $$2x^3-x^2+x+1=(2x+1)(x^2-x+1).$$

   Тогда

   $$(2x+1)(x^2-x+1)=0.$$

   Из первого множителя:

   $$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$

   У квадратного уравнения

   $$x^2-x+1=0$$

   дискриминант

   $$D=1-4=-3<0,$$

   поэтому действительных корней нет.

2. $$10x^3-3x^2-2x+1=0$$

   Проверяем корень $$x=-\frac12$$ и получаем:

   $$10x^3-3x^2-2x+1=(2x+1)(5x^2-4x+1).$$

   Тогда

   $$(2x+1)(5x^2-4x+1)=0.$$

   Из первого множителя:

   $$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$

   Для квадратного уравнения

   $$5x^2-4x+1=0$$

   дискриминант

   $$D=16-20=-4<0,$$

   действительных корней нет.

3. $$x^4+x^3+x^2-x-2=0$$

   Разложим на множители:

   $$x^4+x^3+x^2-x-2=(x+1)(x-1)(x^2+x+2).$$

   Тогда

   $$(x+1)(x-1)(x^2+x+2)=0.$$

   Из первых двух множителей получаем:

   $$x+1=0,\quad x=-1;$$

   $$x-1=0,\quad x=1.$$

   Для уравнения

   $$x^2+x+2=0$$

   дискриминант

   $$D=1-8=-7<0,$$

   действительных корней нет.

4. $$2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=0$$

   Разложим многочлен на множители:

   $$2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=(x+3)(2x-1)(x^2+x+2).$$

   Тогда

   $$(x+3)(2x-1)(x^2+x+2)=0.$$

   Из первых двух множителей:

   $$x+3=0,\quad x=-3;$$

   $$2x-1=0,\quad x=\frac12.$$

   Для квадратного уравнения

   $$x^2+x+2=0$$

   дискриминант

   $$D=1-8=-7<0,$$

   действительных корней нет.

Ответ: а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac12$$; в) $$-1,\ 1$$; г) $$-3,\ \frac12$$.