Упр.104 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac12\cos\frac{x}{3}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Так как $$-1\le \cos\frac{x}{3}\le 1,$$ то
$$-\frac12\le \frac12\cos\frac{x}{3}\le \frac12.$$
Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$
Нули функции находим из уравнения
$$\frac12\cos\frac{x}{3}=0 \quad \Rightarrow \quad \cos\frac{x}{3}=0,$$
откуда
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция чётная, так как косинус — чётная функция.
Знак функции определяется знаком косинуса:
$$f(x)>0 \iff \cos\frac{x}{3}>0,$$
то есть
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$-\frac{3\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Аналогично,
$$f(x)<0 \iff \cos\frac{x}{3}<0,$$
то есть
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{3}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\frac{3\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{9\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Период функции: $$T=6\pi.$$
Максимумы достигаются при
$$\frac{x}{3}=2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=6\pi n,$$
минимумы — при
$$\frac{x}{3}=\pi+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=3\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$f(x)=-2\sin 2x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$-2\le -2\sin 2x\le 2.$$
Следовательно, $$E(f)=[-2;2].$$
Нули функции:
$$-2\sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad \sin 2x=0,$$
откуда
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция нечётная, так как синус — нечётная функция.
Знак функции:
$$f(x)>0 \iff \sin 2x<0,$$
то есть
$$\pi+2\pi n<2x<2\pi+2\pi n,$$
$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Аналогично,
$$f(x)<0 \iff \sin 2x>0,$$
то есть
$$2\pi n<2x<\pi+2\pi n,$$
$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Период функции: $$T=\pi.$$
Максимумы достигаются при
$$2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,$$
минимумы — при
$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$f(x)=-1{,}5\cos 3x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Так как $$-1\le \cos 3x\le 1,$$ то
$$-1{,}5\le -1{,}5\cos 3x\le 1{,}5.$$
Следовательно, $$E(f)=[-1{,}5;1{,}5].$$
Нули функции:
$$-1{,}5\cos 3x=0 \quad \Rightarrow \quad \cos 3x=0,$$
откуда
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция чётная.
Знак функции:
$$f(x)>0 \iff \cos 3x<0,$$
то есть
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<3x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Аналогично,
$$f(x)<0 \iff \cos 3x>0,$$
то есть
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<3x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Период функции: $$T=\frac{2\pi}{3}.$$
Максимумы достигаются при
$$3x=\pi+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},$$
минимумы — при
$$3x=2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$f(x)=3\sin\frac{x}{2}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Так как $$-1\le \sin\frac{x}{2}\le 1,$$ то
$$-3\le 3\sin\frac{x}{2}\le 3.$$
Следовательно, $$E(f)=[-3;3].$$
Нули функции:
$$3\sin\frac{x}{2}=0 \quad \Rightarrow \quad \sin\frac{x}{2}=0,$$
откуда
$$\frac{x}{2}=\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция нечётная.
Знак функции:
$$f(x)>0 \iff \sin\frac{x}{2}>0,$$
то есть
$$2\pi n<\frac{x}{2}<\pi+2\pi n,$$
$$4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Аналогично,
$$f(x)<0 \iff \sin\frac{x}{2}<0,$$
то есть
$$\pi+2\pi n<\frac{x}{2}<2\pi+2\pi n,$$
$$2\pi+4\pi n<x<4\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Период функции: $$T=4\pi.$$
Максимумы достигаются при
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pi+4\pi n,$$
минимумы — при
$$\frac{x}{2}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=3\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
