Упр.103 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума, точки минимума функции:
а) $$y=1+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$;
б) $$y=\frac{2}{1-\cos x}$$;
в) $$y=0{,}5\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$;
г) $$y=\sqrt{1-\sin^2 x}$$.
а) $$y=1+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$y'(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$
Найдём, где производная неотрицательна:
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\ge 0$$
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right].$$
Точки экстремума:
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
б) $$y=\frac{2}{1-\cos x}$$
Область определения: $$1-\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne 2\pi n.$$
$$y'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}$$
Так как знаменатель положителен на области определения, знак производной определяется знаком $$-\sin x.$$
Следовательно, функция возрастает там, где $$\sin x\le 0,$$ и убывает там, где $$\sin x\ge 0,$$ с учётом разрывов в точках $$x=2\pi n.$$
Итак, функция возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right)$$ и убывает на $$\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right].$$
Точка минимума:
$$x_{\min}=\pi+2\pi n.$$
в) $$y=0{,}5\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$
$$y'(x)=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$
Найдём, где производная неотрицательна:
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\ge 0$$
$$2\pi n\le \frac{\pi}{3}-2x\le \pi+2\pi n$$
$$-\frac{\pi}{3}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+\pi n$$
Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right].$$
Точки экстремума:
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
г) $$y=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}$$
Так как $$\sqrt{\cos^2 x}=|\cos x|,$$ то
$$y'(x)=-\sin 2x$$
Найдём, где производная неотрицательна:
$$-\sin 2x\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x\le 0$$
$$-\pi+2\pi n\le 2x\le 2\pi n$$
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right].$$
Точки экстремума:
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x_{\max}=\pi n.$$
