Упр.103 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что:
а) если $$x_0=\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь, являющаяся корнем уравнения $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n=0$$ с целыми коэффициентами, то $$p$$ — делитель $$a_n$$, а $$q$$ — делитель $$a_0$$;
б) остаток от деления многочлена $$P(x)$$ на одночлен $$(x-a)$$ равен значению этого многочлена в точке $$a$$ (в частности, если $$a$$ — корень многочлена $$P(x)$$, то этот многочлен делится на $$(x-a)$$ без остатка).
Пусть $$x_0=\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь и она является корнем уравнения
$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0,$$
где все коэффициенты $$a_0,a_1,\dots,a_n$$ — целые числа.
Подставим $$x=\frac{p}{q}$$ в уравнение и умножим на $$q^n$$:
$$a_0\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_1\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\dots+a_n=0,$$
$$a_0p^n+a_1pq^{\,n-1}+\dots+a_{n-1}p q+a_nq^n=0.$$
Перенесём первое и последнее слагаемые:
$$a_0p^n=-(a_1pq^{\,n-1}+\dots+a_nq^n),$$
$$a_nq^n=-(a_0p^n+a_1pq^{\,n-1}+\dots+a_{n-1}p q).$$
Из первого равенства видно, что $$p$$ делит $$a_nq^n$$, а так как $$p$$ и $$q$$ взаимно просты, то $$p$$ делит $$a_n$$. Аналогично из второго равенства следует, что $$q$$ делит $$a_0$$.
Следовательно, если несократимая дробь $$\frac{p}{q}$$ является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то $$p$$ — делитель свободного члена $$a_n$$, а $$q$$ — делитель старшего коэффициента $$a_0$$.
Теперь докажем второе утверждение. При делении многочлена $$P(x)$$ на двучлен $$x-a$$ получаем
$$P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),$$
где остаток $$R(x)$$ имеет степень меньше степени делителя. Так как $$\deg(x-a)=1$$, то $$R(x)$$ — постоянное число, то есть $$R(x)=C$$.
Тогда
$$P(x)=(x-a)Q(x)+C.$$
Подставим $$x=a$$:
$$P(a)=(a-a)Q(a)+C=C.$$
Значит, остаток от деления многочлена $$P(x)$$ на $$x-a$$ равен $$P(a)$$.
Если $$a$$ — корень многочлена $$P(x)$$, то $$P(a)=0$$, следовательно, остаток равен нулю, и многочлен делится на $$x-a$$ без остатка.
Ответ
а) $$p$$ делит $$a_n$$, а $$q$$ делит $$a_0$$; б) остаток от деления $$P(x)$$ на $$x-a$$ равен $$P(a)$$, поэтому при $$P(a)=0$$ многочлен делится на $$x-a$$ без остатка.
