Упр.103 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем свойства тригонометрических функций.

1. $$f(x)=4\cos 3x.$$

   Функция $$\cos t$$ возрастает при $$-\pi+2\pi n \le t \le 2\pi n$$ и убывает при $$2\pi n \le t \le \pi+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.

   Подставим $$t=3x$$:

   $$-\pi+2\pi n \le 3x \le 2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi n}{3}\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$2\pi n \le 3x \le \pi+2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как множитель $$4>0$$, промежутки возрастания и убывания не меняются.

   Точки максимума определяются условием $$3x=2\pi n$$, откуда

   $$x_{\max}=\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точки минимума определяются условием $$3x=\pi+2\pi n$$, откуда

   $$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$f(x)=0{,}5\ctg\frac{x}{4}.$$

   Функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке своей области определения:

   $$\pi n<t<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Положим $$t=\frac{x}{4}$$. Тогда

   $$4\pi n<x<4\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, функция убывает на промежутках

   $$x\in(4\pi n;\,4\pi+4\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точек максимума и минимума не существует.

3. $$f(x)=2\tg\frac{x}{2}.$$

   Функция $$\tg t$$ возрастает на каждом промежутке своей области определения:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Положим $$t=\frac{x}{2}$$. Тогда

   $$-\pi+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, функция возрастает на промежутках

   $$x\in(-\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точек максимума и минимума не существует.

4. $$f(x)=0{,}2\sin 4x.$$

   Функция $$\sin t$$ возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$ и убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.

   Подставим $$t=4x$$:

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 4x \le \frac{\pi}{2}+2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 4x \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как множитель $$0{,}2>0$$, промежутки возрастания и убывания сохраняются.

   Точки максимума определяются условием $$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, откуда

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точки минимума определяются условием $$4x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, откуда

   $$x_{\min}=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$