Упр.102 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Среди данных функций укажите периодические и найдите наименьшие положительные периоды таких функций:

а) $$y=1-\sin(5x)$$;

б) $$y=x\sin^{?}(x)-x\cos^2(x)$$;

в) $$y=3\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$;

г) $$y=(\sin(x)+\cos(x))^2$$.

а) $$y=1-\sin 5x.$$

Так как функция $$\sin 5x$$ имеет период $$T=\frac{2\pi}{5},$$ то и функция $$1-\sin 5x$$ периодична с тем же наименьшим положительным периодом.

Ответ: $$\frac{2\pi}{5}.$$

б) $$y=x\sin^2 x-x\cos^2 x.$$

Преобразуем выражение:

$$y=x(\sin^2 x-\cos^2 x)=-x(\cos^2 x-\sin^2 x)=-x\cos 2x.$$

Из-за множителя $$x$$ функция не может быть периодической.

Ответ: не периодическая.

в) $$y=3\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

Функция $$\tg t$$ имеет период $$\pi.$$ Значит, для аргумента

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}$$

должно выполняться

$$\frac{x+T}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}+\pi.$$

Тогда

$$\frac{T}{2}=\pi,\qquad T=2\pi.$$

Ответ: $$2\pi.$$

г) $$y=(\sin x+\cos x)^2.$$

Раскроем квадрат суммы:

$$y=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x.$$

Функция $$\sin 2x$$ имеет период $$\pi,$$ значит и функция $$1+\sin 2x$$ имеет наименьший положительный период $$\pi.$$

Ответ: $$\pi.$$