Упр.102 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ и $$bx^2+cx+a=0$$ ($$a?0$$) имеют общий корень, то и уравнение $$cx^2+ax+b=0$$ имеет тот же корень.

Пусть $$x_0$$ — общий корень уравнений

$$ax^2+bx+c=0,$$

$$bx^2+cx+a=0.$$

Тогда при подстановке $$x_0$$ оба уравнения обращаются в нуль. Умножим первое уравнение на $$x_0$$, а затем вычтем из него второе:

$$x_0(ax_0^2+bx_0+c)-(bx_0^2+cx_0+a)=0.$$

После раскрытия скобок получаем

$$ax_0^3+bx_0^2+cx_0-bx_0^2-cx_0-a=0,$$

то есть

$$ax_0^3-a=0.$$

Так как $$a\ne 0$$, имеем

$$x_0^3-1=0,$$

откуда

$$x_0=1.$$

Подставим $$x=1$$ в первое уравнение:

$$a+b+c=0.$$

Тогда для третьего уравнения

$$cx^2+ax+b=0$$

при $$x=1$$ получаем

$$c+a+b=0,$$

значит, $$x=1$$ является его корнем.

Ответ: общий корень равен $$1$$, и это же число является корнем уравнения $$cx^2+ax+b=0$$.