Упр.102 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=-\sin 3x$$

Нули функции находим из уравнения

$$-\sin 3x=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin 3x=0.$$

Тогда

$$3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \sin 3x<0,$$

то есть

$$\pi+2\pi n<3x<2\pi+2\pi n.$$

Делим на $$3$$:

$$\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Аналогично

$$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \sin 3x>0,$$

откуда

$$\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=\tg \frac{2x}{3}$$

Нули функции:

$$\tg \frac{2x}{3}=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{2x}{3}=\pi n,$$

значит

$$x=\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \tg \frac{2x}{3}>0,$$

а тангенс положителен при

$$\pi n<\frac{2x}{3}<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Умножаем на $$\\frac{3}{2}$$:

$$\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Если

$$f(x)<0,$$

то

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{2x}{3}<\pi n,$$

откуда

$$-\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$f(x)=\cos \frac{x}{2}$$

Нули функции:

$$\cos \frac{x}{2}=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

значит

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \cos \frac{x}{2}>0,$$

а косинус положителен при

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Умножаем на $$2$$:

$$-\pi+4\pi n<x<\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если

$$f(x)<0,$$

то

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

откуда

$$\pi+4\pi n<x<3\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$f(x)=\ctg 2x$$

Нули функции:

$$\ctg 2x=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

значит

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \ctg 2x>0,$$

а котангенс положителен при

$$\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Делим на $$2$$:

$$\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Если

$$f(x)<0,$$

то

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\pi+\pi n,$$

откуда

$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{3}$$; $$f(x)>0$$ при $$\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$, $$f(x)<0$$ при $$\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
б) $$x=\frac{3\pi n}{2}$$; $$f(x)>0$$ при $$\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}$$, $$f(x)<0$$ при $$-\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
в) $$x=\pi+2\pi n$$; $$f(x)>0$$ при $$-\pi+4\pi n<x<\pi+4\pi n$$, $$f(x)<0$$ при $$\pi+4\pi n<x<3\pi+4\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; $$f(x)>0$$ при $$\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$, $$f(x)<0$$ при $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.