Упр.101 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Какие из данных функций являются чётными, какие нечётными:
   а) $$y=\operatorname{tg}(3x)-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)$$;
   б) $$y=\frac{\sin(x)\cos^2(x)}{x}$$;
   в) $$y=\sin\left(\frac{x^3-x}{x^2-1}\right)$$;
   г) $$y=\frac{\sin(x)}{x}-\cos(x)$$?

Исследуем функции на чётность, используя свойства:

$$\tg(-x)=-\tg x,\qquad \ctg(-x)=-\ctg x,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x.$$

1. $$y=\tg 3x-\ctg \frac{x}{2}.$$

   Область определения симметрична относительно нуля: если $$x$$ допустимо, то и $$-x$$ допустимо.

   Найдём $$y(-x)$$:

   $$y(-x)=\tg(-3x)-\ctg\left(-\frac{x}{2}\right) =-\tg 3x+\ctg\frac{x}{2} =-\left(\tg 3x-\ctg\frac{x}{2}\right) =-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. $$y=\frac{\sin x\cos^2 x}{x}.$$

   Область определения: $$x\ne 0$$, она симметрична относительно нуля.

   Найдём $$y(-x)$$:

   $$y(-x)=\frac{\sin(-x)\cos^2(-x)}{-x} =\frac{(-\sin x)\cos^2 x}{-x} =\frac{\sin x\cos^2 x}{x} =y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

3. $$y=\sin\frac{x^3-x}{x^2-1}.$$

   Область определения: $$x^2-1\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm 1$$. Она симметрична относительно нуля.

   Найдём $$y(-x)$$:

   $$y(-x)=\sin\frac{(-x)^3-(-x)}{(-x)^2-1} =\sin\frac{-x^3+x}{x^2-1} =\sin\left(-\frac{x^3-x}{x^2-1}\right) =-\,\sin\frac{x^3-x}{x^2-1} =-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. $$y=\frac{\sin x}{x}-\cos x.$$

   Область определения: $$x\ne 0$$, она симметрична относительно нуля.

   Найдём $$y(-x)$$:

   $$y(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}-\cos(-x) =\frac{\sin x}{x}-\cos x =y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ: а) нечётная; б) чётная; в) нечётная; г) чётная.