Упр.100 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите промежутки знакопостоянства функции: а) $$y=3\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$; б) $$y=1-\tg(3x)$$; в) $$y=1-\sqrt{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$; г) $$y=1+2\cos(2x)$$.

а) $$y=3\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Так как $$3>0,$$ знак функции определяется знаком косинуса:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0.$$

Косинус положителен при

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

откуда

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Значит,

$$y>0 \text{ при } \left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\ \frac{\pi}{4}+2\pi n\right),$$

$$y<0 \text{ при } \left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{4}+2\pi n\right).$$

б) $$y=1-\tg 3x$$

Найдём, где функция положительна:

$$1-\tg 3x>0 \iff \tg 3x<1.$$

На каждом промежутке монотонности тангенса получаем

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<3x<\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

Следовательно,

$$y>0 \text{ при } \left(-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3};\ \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\right),$$

$$y<0 \text{ при } \left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3};\ \frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right).$$

в) $$y=1-\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}$$

Рассмотрим неравенство

$$1-\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}>0 \iff \sin\frac{x}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Синус меньше $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{2}+4\pi n<x<\frac{\pi}{2}+4\pi n.$$

Значит,

$$y>0 \text{ при } \left(-\frac{\pi}{2}+4\pi n;\ \frac{\pi}{2}+4\pi n\right),$$

$$y<0 \text{ при } \left(\frac{\pi}{2}+4\pi n;\ \frac{3\pi}{2}+4\pi n\right).$$

г) $$y=1+2\cos 2x$$

Найдём, где функция положительна:

$$1+2\cos 2x>0 \iff \cos 2x>-\frac{1}{2}.$$

Косинус больше $$-\frac{1}{2}$$ при

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Следовательно,

$$y>0 \text{ при } \left(-\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{\pi}{3}+\pi n\right),$$

$$y<0 \text{ при } \left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{2\pi}{3}+\pi n\right).$$

Ответ: для каждого пункта промежутки знакопостоянства указаны выше.