Упр.100 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Сумма квадратов корней уравнения $$x^2-4x+p=0$$ равна 16. Найдите $$p$$.
   б) При каком значении $$a$$ сумма корней уравнения $$x^2+2a(x-1)+1=0$$ равна сумме квадратов этих корней?

Пусть корни уравнения $$x^2-4x+p=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=4,\qquad x_1x_2=p.$$

Сумма квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2p=16-2p.$$

По условию $$x_1^2+x_2^2=16$$, значит

$$16-2p=16,\qquad 2p=0,\qquad p=0.$$

Для уравнения $$x^2+2a(x-1)+1=0$$ получаем

$$x^2+2ax+(1-2a)=0.$$

Пусть его корни равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

$$x_1+x_2=-2a,\qquad x_1x_2=1-2a.$$

По условию сумма корней равна сумме их квадратов:

$$x_1+x_2=x_1^2+x_2^2.$$

Подставим формулы Виета:

$$-2a=(-2a)^2-2(1-2a).$$

$$-2a=4a^2-2+4a,$$

$$4a^2+6a-2=0,$$

$$2a^2+3a-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9+8=17,$$

$$a=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}.$$

Проверим, существуют ли корни у исходного уравнения. Для этого нужно

$$D=4a^2-4(1-2a)=4(a^2+2a-1)\ge 0.$$

При найденных значениях $$a$$ это условие не выполняется, поэтому подходящих значений нет.

Ответ

а) $$p=0$$; б) таких значений $$a$$ нет.