Упр.10 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулу производной для функции $$y=e^x$$, $$y=a^x$$.
- Найдите производную функции:
а) $$v(x)=5-2e^{4-3x}$$;
б) $$u(x)=3\cdot5^{7x-1}$$;
в) $$g(x)=e^{-3x}$$;
г) $$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$$. - Найдите общий вид первообразных для функции:
а) $$v(x)=e^{5x}-7e^{-4x}$$;
б) $$u(x)=5e^{0,7x}$$;
в) $$g(x)=e^{-3x}$$;
г) $$f(x)=e^{2x}$$.
1) Используем формулы:
$$\left(e^x\right)’=e^x,$$
$$\left(a^x\right)’=a^x\ln a.$$
2) Найдём производные:
а) $$v(x)=5-2e^{4-3x},$$
$$v'(x)=-2\cdot \left(e^{4-3x}\right)’=-2\cdot e^{4-3x}\cdot(-3)=6e^{4-3x}.$$
б) $$u(x)=3\cdot 5^{7x-1},$$
$$u'(x)=3\cdot \left(5^{7x-1}\right)’=3\cdot 5^{7x-1}\cdot 7\ln 5=21\cdot 5^{7x-1}\ln 5.$$
в) $$g(x)=e^{-3x},$$
$$g'(x)=e^{-3x}\cdot(-3)=-3e^{-3x}.$$
г) $$f(x)=\left(\frac13\right)^{2x},$$
$$f'(x)=\left(\frac13\right)^{2x}\ln\frac13\cdot 2=-2\ln 3\left(\frac13\right)^{2x}=-\frac{2\ln 3}{3^{2x}}.$$
3) Найдём общий вид первообразных:
а) $$v(x)=e^{5x}-7e^{-4x},$$
$$F(x)=\int \left(e^{5x}-7e^{-4x}\right)\,dx=\frac15e^{5x}+\frac74e^{-4x}+C.$$
б) $$u(x)=5e^{0{,}7x},$$
$$F(x)=\int 5e^{0{,}7x}\,dx=5\cdot \frac{1}{0{,}7}e^{0{,}7x}+C=\frac{50}{7}e^{0{,}7x}+C.$$
в) $$g(x)=e^{-3x},$$
$$F(x)=\int e^{-3x}\,dx=-\frac13e^{-3x}+C.$$
г) $$f(x)=e^{2x},$$
$$F(x)=\int e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}+C.$$
Ответ
1) $$\left(e^x\right)’=e^x,\qquad \left(a^x\right)’=a^x\ln a.$$
2) $$v'(x)=6e^{4-3x},\quad u'(x)=21\cdot 5^{7x-1}\ln 5,\quad g'(x)=-3e^{-3x},\quad f'(x)=-\frac{2\ln 3}{3^{2x}}.$$
3) $$F(x)=\frac15e^{5x}+\frac74e^{-4x}+C,\quad F(x)=\frac{50}{7}e^{0{,}7x}+C,\quad F(x)=-\frac13e^{-3x}+C,\quad F(x)=\frac12e^{2x}+C.$$
