Упр.10 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Опишите схему исследования функции.
- Исследуйте с помощью производной функцию:
а) $$f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2$$;
б) $$f(x)=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}$$;
в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$;
г) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$. - Исследуйте по схеме функцию $$f$$ и постройте ее график:
а) $$f(x)=x^2-\frac{2}{x}$$;
б) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$;
в) $$f(x)=2x^2+3x-1$$;
г) $$f(x)=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+1$$.
1) Схема исследования функции:
- Найти область определения и область значений.
- Определить чётность и периодичность функции.
- Найти точки пересечения с осями координат.
- Найти промежутки знакопостоянства.
- Найти промежутки монотонности.
- Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
- Исследовать поведение функции в особых точках.
Ход решения
а) $$f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2$$
$$D(f)=\mathbb{R}$$
Найдём нули функции:
$$\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2=0$$
$$x^2\left(\frac{x^2}{4}+\frac{x}{3}-1\right)=0$$
$$x=0,\qquad 3x^2+4x-12=0$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-12)=160$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{160}}{6}=\frac{-2\pm 2\sqrt{10}}{3}$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$\left(\frac{-2-2\sqrt{10}}{3},0\right),\ \left(0,0\right),\ \left(\frac{-2+2\sqrt{10}}{3},0\right)$$
Производная:
$$f'(x)=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)$$
Критические точки: $$x=-2,\ 0,\ 1$$.
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in[-2,0]\cup[1,+\infty)$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty,-2]\cup[0,1]$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-2,0]\cup[1,+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty,-2]\cup[0,1]$$.
Экстремумы:
$$f(-2)=\frac{16}{4}-\frac{8}{3}-4=-\frac{8}{3}$$
$$f(0)=0$$
$$f(1)=\frac14+\frac13-1=-\frac{5}{12}$$
Итак, в точке $$x=-2$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.
б) $$f(x)=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}$$
$$D(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$$
Нули функции:
$$\frac{8}{x}+\frac{x}{2}=0$$
$$16+x^2=0$$
Решений нет, значит, пересечений с осью $$Ox$$ нет.
Производная:
$$f'(x)=-\frac{8}{x^2}+\frac12=\frac{x^2-16}{2x^2}$$
Так как $$2x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то знак $$f'(x)$$ определяется числителем:
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } x\le -4 \text{ и } x\ge 4$$
$$f'(x)<0 \text{ при } -4<x<0 \text{ и } 0<x<4$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)$$ и убывает на $$[-4,0)\cup(0,4]$$.
Экстремумы:
$$f(-4)=-2-2=-4$$
$$f(4)=2+2=4$$
Асимптоты:
$$x=0,\qquad y=\frac{x}{2}$$
в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$
$$D(f)=\mathbb{R}$$
Нули функции:
$$x^3-3x^2-9x=0$$
$$x(x^2-3x-9)=0$$
$$x=0,\qquad x=\frac{3\pm 3\sqrt5}{2}$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$\left(\frac{3-3\sqrt5}{2},0\right),\ \left(0,0\right),\ \left(\frac{3+3\sqrt5}{2},0\right)$$
Производная:
$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)$$ и убывает на $$[-1,3]$$.
Экстремумы:
$$f(-1)=-1-3+9=5$$
$$f(3)=27-27-27=-27$$
г) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$
$$D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$$
Нуль функции:
$$\frac{x}{4-x^2}=0 \Rightarrow x=0$$
Точка пересечения с осями координат: $$\left(0,0\right)$$.
Производная:
$$f'(x)=\frac{(4-x^2)-x(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$$
Так как $$x^2+4>0$$ и $$\left(4-x^2\right)^2>0$$ при $$x\in D(f)$$, то
$$f'(x)>0 \text{ на всей области определения}$$
Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков $$(-\infty,-2)$$, $$(-2,2)$$, $$(2,+\infty)$$.
Асимптоты:
$$x=-2,\qquad x=2,\qquad y=0$$
Ход решения
а) $$f(x)=x^2-\frac{2}{x},\quad x\ne 0$$
$$D(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$$
Нули функции:
$$x^2-\frac{2}{x}=0 \Rightarrow x^3-2=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{2}$$
Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(\sqrt[3]{2},0\right)$$.
Производная:
$$f'(x)=2x+\frac{2}{x^2}=\frac{2(x^3+1)}{x^2}$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то знак производной определяется выражением $$x^3+1$$:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<-1$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x>-1,\ x\ne 0$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty,-1]$$ и возрастает на $$[-1,0)\cup(0,+\infty)$$.
Минимум:
$$f(-1)=1+2=3$$
Асимптота: $$x=0$$.
б) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$
$$D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=[0,+\infty)$$
Нули функции:
$$x^2(x-2)^2=0 \Rightarrow x=0,\ 2$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(0,0\right),\ \left(2,0\right)$$.
Производная:
$$f'(x)=2x(x-2)^2+2x^2(x-2)=4x(x-1)(x-2)$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty,0]\cup[1,2]$$ и возрастает на $$[0,1]\cup[2,+\infty)$$.
Экстремумы:
$$f(0)=0,\qquad f(1)=1,\qquad f(2)=0$$
в) $$f(x)=2x^2+3x-1$$
$$D(f)=\mathbb{R}$$
Нули функции:
$$2x^2+3x-1=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-1)=17$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{4},0\right),\ \left(\frac{-3+\sqrt{17}}{4},0\right)$$
Производная:
$$f'(x)=4x+3$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-\frac34$$
Функция убывает на $$(-\infty,-\frac34]$$ и возрастает на $$[-\frac34,+\infty)$$.
Минимум:
$$f\left(-\frac34\right)=2\cdot\frac{9}{16}-\frac94-1=-\frac{17}{8}$$
Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac{17}{8},+\infty\right)$$.
г) $$f(x)=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+1$$
$$D(f)=\mathbb{R}$$
Производная:
$$f'(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$$ и убывает на $$[-3,1]$$.
Экстремумы:
$$f(-3)=\frac{-27}{3}+9+9+1=10$$
$$f(1)=\frac13+1-3+1=-\frac23$$
Значит, максимум равен $$10$$ при $$x=-3$$, а минимум равен $$-\frac23$$ при $$x=1$$.
Ответ
1) Схема исследования функции: область определения и значений, чётность и периодичность, пересечения с осями, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, поведение в особых точках.
2) Для функций из пункта 2 получены области определения, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности и экстремумы, указанные выше.
3) Для функций из пункта 3 найдены области определения, нули, промежутки монотонности, экстремумы и асимптоты; по этим данным строятся графики.
