Упр.10 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы половинного аргумента.
- Найдите:
а) $$\cos\frac{\alpha}{2}$$, если $$\cos\alpha=\frac{1}{3}$$, $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$; б) $$\tg\frac{\alpha}{2}$$, если $$\sin\alpha=-\frac{2}{3}$$, $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$; в) $$\sin\frac{\alpha}{2}$$, если $$\sin\alpha=-\frac{3}{7}$$, $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$; г) $$\ctg\frac{\alpha}{2}$$, если $$\cos\alpha=\frac{2}{5}$$, $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$. - Упростите выражение:
а) $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}-\sin^2\alpha$$;
б) $$\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$$;
в) $$\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$;
г) $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$$.
1) Формулы половинного аргумента:
$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2},\qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2},\qquad \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$$
$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},\qquad \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$$
2) Найдём значения:
$$\cos\frac{\alpha}{2},\quad \cos\alpha=\frac13,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$
Так как $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right),$$ то $$\cos\frac{\alpha}{2}<0.$$
$$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac13}{2}=\frac23$$
$$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac23}=-\frac{\sqrt6}{3}$$
$$\tg\frac{\alpha}{2},\quad \sin\alpha=-\frac23,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$
Здесь $$\alpha/2\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right),$$ значит $$\tg\frac{\alpha}{2}<0.$$
$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac49}=-\frac{\sqrt5}{3}$$
$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{-\frac23}{1-\frac{\sqrt5}{3}}=\frac{-2}{3-\sqrt5}=-\frac{3+\sqrt5}{2}$$
$$\sin\frac{\alpha}{2},\quad \sin\alpha=-\frac37,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$
Так как $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right),$$ то $$\sin\frac{\alpha}{2}>0.$$
$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{49}}=-\frac{2\sqrt{10}}{7}$$
$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac{2\sqrt{10}}{7}}{2}=\frac{7+2\sqrt{10}}{14}$$
$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}}=\frac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt{14}}$$
$$\ctg\frac{\alpha}{2},\quad \cos\alpha=\frac25,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$
Здесь $$\alpha/2\in\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right),$$ значит $$\ctg\frac{\alpha}{2}>0.$$
$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{4}{25}}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$
$$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac25}{-\frac{\sqrt{21}}{5}}=-\frac{7}{\sqrt{21}}=-\frac{\sqrt{21}}{3}$$
3) Упростим выражения:
$$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot \ctg\frac{\alpha}{2}-\sin^2\alpha$$
Так как $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tg\frac{\alpha}{2},$$ получаем
$$\tg\frac{\alpha}{2}\cdot \ctg\frac{\alpha}{2}-\sin^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$$
$$\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$$
$$\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\tg\alpha,$$ поэтому
$$\tg\alpha\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tg\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\tg\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tg\frac{\alpha}{2}$$
