Упр.10 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что для любого натурального числа $$N$$ существует ряд последовательных $$N$$ чисел, каждое из которых составное.

Рассмотрим число $$(N+1)!$$.

Тогда следующие за ним $$N$$ чисел имеют вид:

$$(N+1)!+2,\ (N+1)!+3,\ \ldots,\ (N+1)!+(N+1).$$

Покажем, что каждое из них составное. Возьмём любое число из этого ряда:

$$(N+1)!+k,\quad k=2,3,\ldots,N+1.$$

Так как $$k\le N+1,$$ то число $$k$$ входит в произведение $$(N+1)! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots (N+1),$$ значит, $$(N+1)!$$ делится на $$k$$. Следовательно, и число

$$(N+1)!+k$$

делится на $$k$$:

$$(N+1)!+k = k\left(\frac{(N+1)!}{k}+1\right).$$

При этом $$k>1$$, а также $$(N+1)!+k > k$$, значит, это число имеет нетривиальный делитель и является составным.

Итак, существует ряд из $$N$$ последовательных чисел, каждое из которых составное.

Ответ

Для любого натурального $$N$$ существует ряд из $$N$$ последовательных составных чисел, например:

$$(N+1)!+2,\ (N+1)!+3,\ \ldots,\ (N+1)!+(N+1).$$