Упр.10 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) Найдём недостающие значения тригонометрических функций.

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то $$\cos \alpha<0.$$ Тогда

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то $$\sin \beta>0.$$ Тогда

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Теперь вычислим:

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac45\cdot\left(-\frac35\right)=-\frac{24}{25},$$

$$\cos 2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\beta=\left(-\frac{5}{13}\right)^2-\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}-\frac{144}{169}=-\frac{119}{169},$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac45\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)-\left(-\frac35\right)\cdot\frac{12}{13}=\frac{16}{65},$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)-\frac45\cdot\frac{12}{13}=-\frac{33}{65}.$$

б) Найдём недостающие значения тригонометрических функций.

Так как $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\sin \alpha<0.$$ Тогда

$$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-(0{,}6)^2}=-\sqrt{1-0{,}36}=-0{,}8.$$

Так как $$\pi<\beta<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\cos \beta<0.$$ Тогда

$$\cos \beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta}=-\sqrt{1-\left(-\frac{8}{17}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\sqrt{\frac{225}{289}}=-\frac{15}{17}.$$

Теперь вычислим:

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot(-0{,}8)\cdot0{,}6=-0{,}96,$$

$$\cos 2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\beta=\left(-\frac{15}{17}\right)^2-\left(-\frac{8}{17}\right)^2=\frac{225}{289}-\frac{64}{289}=\frac{161}{289},$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=(-0{,}8)\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)-0{,}6\cdot\left(-\frac{8}{17}\right)=\frac{24}{85},$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=0{,}6\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)-(-0{,}8)\cdot\left(-\frac{8}{17}\right)=-\frac{77}{85}.$$