Упр.1 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Дайте определение корня $$n$$-й степени из числа. Что такое арифметический корень $$n$$-й степени?
- Найдите значение:
а) $$(-27)^{\frac{1}{3}}$$;
б) $$625^{\frac{1}{4}}$$;
в) $$(-128)^{\frac{1}{7}}$$;
г) $$\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{6}}$$;
д) $$\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^n$$. - Решите уравнение:
а) $$x^3=125$$;
б) $$x^4=64$$;
в) $$x^5=-\frac{1}{243}$$;
г) $$x^4=-16$$.
1) Корнем $$n$$-й степени из числа $$a$$ называют такое число, $$n$$-я степень которого равна $$a$$.
Арифметическим корнем $$n$$-й степени из числа $$a$$ называют неотрицательное число, $$n$$-я степень которого равна $$a$$.
Ход решения
2) Найдём значения:
а) $$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3;$$
б) $$\sqrt[4]{625}=\sqrt[4]{5^4}=5;$$
в) $$\sqrt[7]{-128}=\sqrt[7]{(-2)^7}=-2;$$
г) $$\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\sqrt[6]{\frac{1}{2^6}}=\frac{1}{2};$$
д) $$\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x.$$
3) Решим уравнения:
а) $$x^3=125,\quad x^3=5^3,\quad x=5;$$
б) $$x^4=64,\quad x^2=8,\quad x=\pm 2\sqrt{2};$$
в) $$x^5=-\frac{1}{243},\quad x=\sqrt[5]{-\frac{1}{243}}=-\frac{1}{3};$$
г) $$x^4=-16.$$
Так как при любом действительном $$x$$ имеем $$x^4\ge 0$$, то действительных решений нет.
Ответ
1) Корень $$n$$-й степени из числа $$a$$ — это число, $$n$$-я степень которого равна $$a$$. Арифметический корень $$n$$-й степени — неотрицательный корень.
2) а) $$-3$$; б) $$5$$; в) $$-2$$; г) $$\frac{1}{2}$$; д) $$x$$.
3) а) $$x=5$$; б) $$x=\pm 2\sqrt{2}$$; в) $$x=-\frac{1}{3}$$; г) решений нет.
