Упр.1 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте определение первообразной.
- Докажите, что функция $$F$$ является первообразной для функции $$f$$ на $$\mathbb{R}$$:
а) $$f(x)=2x+3,\ F(x)=x^2+3x+1$$;
б) $$f(x)=\sin(2x)+3,\ F(x)=-\frac{\cos(2x)}{2}+3x$$;
в) $$f(x)=-x^3+5,\ F(x)=-\frac{x^4}{4}+5x+2$$;
г) $$f(x)=-\cos\left(\frac{x}{2}\right)+1,\ F(x)=-2\sin\left(\frac{x}{2}\right)+x$$. - Является ли функция $$F$$ первообразной для функции $$f$$ на заданном промежутке:
а) $$F(x)=x^2-x,\ f(x)=2x-1$$ на $$\mathbb{R}$$;
б) $$F(x)=\frac{1}{x^2}-\sin(x),\ f(x)-\frac{1}{x^3}-\cos(x)$$ на $$\mathbb{R}$$;
в) $$F(x)=x^3+1,\ f(x)=\frac{x^4}{4}+x$$ на $$\mathbb{R}$$;
г) $$F(x)=x+\cos(x),\ f(x)=1-\sin(x)$$ на $$\mathbb{R}$$?
1) Функция $$F$$ называется первообразной для функции $$f$$ на заданном промежутке, если для всех $$x$$ из этого промежутка выполняется равенство $$F'(x)=f(x)$$.
Ход решения
2) Проверим, что производная функции $$F$$ совпадает с $$f$$.
$$f(x)=2x+3,\quad F(x)=x^2+3x+1.$$
$$F'(x)=2x+3=f(x).$$
$$f(x)=\sin(2x)+3,\quad F(x)=-\frac{\cos(2x)}{2}+3x.$$
$$F'(x)=\sin(2x)+3=f(x).$$
$$f(x)=-x^3+5,\quad F(x)=-\frac{x^4}{4}+5x+2.$$
$$F'(x)=-x^3+5=f(x).$$
$$f(x)=-\cos\frac{x}{2}+1,\quad F(x)=-2\sin\frac{x}{2}+x.$$
$$F'(x)=-\cos\frac{x}{2}+1=f(x).$$
3) Найдём производную $$F$$ и сравним её с $$f$$.
$$F(x)=x^2-x,\quad f(x)=2x-1.$$
$$F'(x)=2x-1=f(x).$$
Да.
$$F(x)=\frac{1}{x^2}-\sin x,\quad f(x)=-\frac{1}{x^3}-\cos x.$$
$$F'(x)=-\frac{2}{x^3}-\cos x\ne f(x).$$
Нет.
$$F(x)=x^3+1,\quad f(x)=\frac{x^4}{4}+x.$$
$$F'(x)=3x^2\ne f(x).$$
Нет.
$$F(x)=x+\cos x,\quad f(x)=1-\sin x.$$
$$F'(x)=1-\sin x=f(x).$$
Да.
Ответ
1) $$F$$ — первообразная для $$f$$, если $$F'(x)=f(x)$$.
2) а) да; б) да; в) да; г) да.
3) а) да; б) нет; в) нет; г) да.
