Упр.1 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Что такое приращение аргумента и приращение функции?
- В чем состоит геометрический смысл приращений $$\Delta x$$ и $$\Delta f$$, отношения $$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$?
- Выразите $$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$ через $$x_0$$ и $$\Delta x$$:
а) $$f(x)=x^2-x$$;
б) $$f(x)=x^3+2$$;
в) $$f(x)=3x-1$$;
г) $$f(x)=\frac{2}{x}$$.
1) Пусть $$x$$ — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки $$x_0$$. Тогда разность $$x-x_0$$ называется приращением аргумента в точке $$x_0$$ и обозначается $$\Delta x$$, то есть
$$\Delta x=x-x_0.$$
Приращением функции называется
$$\Delta f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$
2) Прямую, проходящую через любые две точки графика функции $$f$$, называют секущей к графику $$f$$. Угловой коэффициент секущей, проходящей через точки $$\left(x_0;y_0\right)$$ и $$\left(x;y\right)$$, можно выразить через приращения:
$$k=\tg \alpha=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$
3) Выразим $$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$$ через $$x_0$$ и $$\Delta x$$.
$$f(x)=x^2-x$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^2-(x_0+\Delta x)-\left(x_0^2-x_0\right)}{\Delta x}$$
$$=\frac{x_0^2+2x_0\Delta x+\Delta x^2-x_0-\Delta x-x_0^2+x_0}{\Delta x} =2x_0+\Delta x-1.$$
$$f(x)=x^3+2$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^3+2-\left(x_0^3+2\right)}{\Delta x}$$
$$=\frac{x_0^3+3x_0^2\Delta x+3x_0\Delta x^2+\Delta x^3-x_0^3}{\Delta x} =3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2.$$
$$f(x)=3x-1$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{3(x_0+\Delta x)-1-(3x_0-1)}{\Delta x}$$
$$=\frac{3\Delta x}{\Delta x}=3.$$
$$f(x)=\frac{2}{x}$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{\frac{2}{x_0+\Delta x}-\frac{2}{x_0}}{\Delta x}$$
$$=\frac{2x_0-2(x_0+\Delta x)}{x_0(x_0+\Delta x)\Delta x} =-\frac{2}{x_0(x_0+\Delta x)}.$$
