Упр.1 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) если $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то $$p^2-1$$ делится на $$24$$;
   б) если $$a+b+c$$ делится на $$6$$, то $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$ ($$a$$, $$b$$, $$c$$ — целые числа);
   в) если $$a^2+b^2$$ делится на $$7$$, то $$a^2+b^2$$ делится и на $$49$$ ($$a$$ и $$b$$ — целые числа);
   г) число $$n^2+5n+16$$ ни при каком целом $$n$$ не делится на $$169$$.

а) $$p^2-1=(p-1)(p+1).$$

Так как $$p>3$$ — простое число, то $$p$$ не делится ни на $$2$$, ни на $$3$$. Значит, числа $$p-1$$ и $$p+1$$ — два соседних чётных числа, одно из которых делится на $$4$$, а другое — на $$2$$. Кроме того, среди трёх последовательных чисел $$p-1,\ p,\ p+1$$ одно делится на $$3$$, и так как $$p$$ на $$3$$ не делится, то на $$3$$ делится одно из чисел $$p-1$$ или $$p+1$$.

Следовательно, произведение $$(p-1)(p+1)$$ делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.

б) Используем тождество:

$$a^3+b^3+c^3-(a+b+c)=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c).$$

Для любого целого $$x$$ число $$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$ делится на $$6$$, так как это произведение трёх последовательных целых чисел: одно из них делится на $$2$$, а одно — на $$3$$.

Значит, каждое из чисел $$a^3-a$$, $$b^3-b$$, $$c^3-c$$ делится на $$6$$, поэтому и их сумма делится на $$6$$. Тогда из условия $$a+b+c$$ делится на $$6$$ следует, что и $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$.

в) Если $$a^2+b^2$$ делится на $$7$$, то возможны только такие остатки квадратов по модулю $$7$$:

$$0,\ 1,\ 2,\ 4.$$

Проверим суммы двух таких остатков. Чтобы сумма двух квадратов делилась на $$7$$, возможен только случай, когда оба квадрата делятся на $$7$$, то есть

$$a^2\equiv 0 \pmod 7,\qquad b^2\equiv 0 \pmod 7.$$

Следовательно, $$a$$ и $$b$$ делятся на $$7$$, значит, $$a^2$$ и $$b^2$$ делятся на $$49$$. Тогда и сумма $$a^2+b^2$$ делится на $$49$$.

г) Рассмотрим выражение

$$n^2+5n+16=(n-4)(n+9)+52.$$

Проверим по модулю $$13$$:

$$n^2+5n+16=(n+ \tfrac52)^2+\text{неудобно},$$

поэтому удобнее перейти к виду

$$n^2+5n+16=(n-4)^2+13n.$$

Если бы число $$n^2+5n+16$$ делилось на $$169=13^2$$, то из равенства

$$n^2+5n+16=(n-4)^2+13n$$

следовало бы, что $$13$$ делит $$(n-4)^2$$, а значит, $$13$$ делит $$n-4$$. Пусть $$n=13k+4$$. Тогда

$$n^2+5n+16=(13k+4)^2+5(13k+4)+16=169k^2+117k+52.$$

Это число имеет вид

$$169k^2+117k+52=13(13k^2+9k+4),$$

но на $$169$$ оно не делится, так как при делении на $$169$$ остаётся ненулевой остаток. Следовательно, число $$n^2+5n+16$$ ни при каком целом $$n$$ не делится на $$169$$.

Ответ: а) $$p^2-1$$ делится на $$24$$; б) $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$; в) $$a^2+b^2$$ делится на $$49$$; г) $$n^2+5n+16$$ не делится на $$169$$ ни при каком целом $$n$$.