Упр.99 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 99. Числа x_1 и x_2 — корни уравнения x^2+px+q=0. Выразите через p и q: а) x_1^2+x_2^2; б) x_1^3+x_2^3; в) 1/x_1^2+1/x_2^2; г) x_1^4+x_2^4.

По формулам Виета для уравнения $$x^2+px+q=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

1. Найдём $$x_1^2+x_2^2$$:

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2q.$$

2. Найдём $$x_1^3+x_2^3$$:

   $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$

   Так как

   $$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2=(p^2-2q)-q=p^2-3q,$$

   то

   $$x_1^3+x_2^3=(-p)(p^2-3q)=3pq-p^3.$$

3. Найдём $$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}$$:

   $$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{p^2-2q}{q^2}.$$

4. Найдём $$x_1^4+x_2^4$$:

   $$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2.$$

   Подставим найденные значения:

   $$x_1^4+x_2^4=(p^2-2q)^2-2q^2=p^4-4p^2q+2q^2.$$

Ответ

а) $$p^2-2q$$; б) $$3pq-p^3$$; в) $$\frac{p^2-2q}{q^2}$$; г) $$p^4-4p^2q+2q^2$$.