Упр.98 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=1-3sin(x/2); б) y=2cos(x)tg(x);
в) y=2+3cos(5x); г) y=2|sin(x)|-1.

1. $$y=1-3\sin\frac{x}{2}$$

   Так как $$-1\le \sin\frac{x}{2}\le 1,$$ то

   $$-3\le -3\sin\frac{x}{2}\le 3.$$

   Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

   $$-2\le 1-3\sin\frac{x}{2}\le 4.$$

   Следовательно, область значений функции: $$[-2;4].$$

2. $$y=2\cos x\tg x$$

   Преобразуем:

   $$y=2\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=2\sin x.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\sin x\le 2.$$

   Но при $$\cos x=0$$ исходная функция не определена, а значения $$y=\pm 2$$ достигаются только при $$\sin x=\pm 1,$$ когда $$\cos x=0.$$ Поэтому концы не входят в область значений.

   Область значений: $$(-2;2).$$

3. $$y=2+3\cos 5x$$

   Так как $$-1\le \cos 5x\le 1,$$ то

   $$-3\le 3\cos 5x\le 3.$$

   Прибавим 2:

   $$-1\le 2+3\cos 5x\le 5.$$

   Область значений: $$[-1;5].$$

4. $$y=2|\sin x|-1$$

   Так как $$0\le |\sin x|\le 1,$$ то

   $$0\le 2|\sin x|\le 2.$$

   Вычтем 1:

   $$-1\le 2|\sin x|-1\le 1.$$

   Область значений: $$[-1;1].$$

Ответ

а) $$[-2;4]$$; б) $$(-2;2)$$; в) $$[-1;5]$$; г) $$[-1;1]$$.