Упр.96 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$f(x)=\frac{1}{x}-2$$
Область определения:
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Область значений:
$$E(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Точка пересечения с осью $Oy$ отсутствует, так как при $x=0$ функция не определена.
Точка пересечения с осью $Ox$:
$$ \frac{1}{x}-2=0 \\ \frac{1}{x}=2 \\ x=\frac{1}{2} $$
Значит, график пересекает ось $Ox$ в точке $$\left(\frac{1}{2};0\right).$$
Знак функции:
$$ \frac{1}{x}-2>0 \iff \frac{1}{x}>2 \iff x\in\left(0;\frac{1}{2}\right), $$
$$ \frac{1}{x}-2<0 \iff x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac{1}{2};+\infty\right). $$
Функция убывает на всей области определения. Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=-2.$$
б) $$f(x)=-(x-3)^4$$
Область определения:
$$D(f)=\mathbb{R}.$$
Область значений:
$$E(f)=(-\infty;0].$$
Точка пересечения с осью $Oy$:
$$f(0)=-(0-3)^4=-81,$$
значит, $$ (0;-81). $$
Точка пересечения с осью $Ox$:
$$ -(x-3)^4=0 \\ (x-3)^4=0 \\ x=3 $$
Значит, $$ (3;0). $$
Так как $$ (x-3)^4\ge 0, $$ то $$ -(x-3)^4\le 0. $$
Функция возрастает на $$(-\infty;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty).$$
Вершина графика: $$ (3;0), $$ это точка максимума.
Ось симметрии: $$x=3.$$
в) $$f(x)=\frac{1}{x+2}$$
Область определения:
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Область значений:
$$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Точка пересечения с осью $Oy$:
$$f(0)=\frac{1}{2},$$
значит, $$\left(0;\frac{1}{2}\right).$$
Точек пересечения с осью $Ox$ нет, так как
$$\frac{1}{x+2}=0$$
не имеет решений.
Знак функции:
$$ \frac{1}{x+2}>0 \iff x>-2 \iff x\in(-2;+\infty), $$
$$ \frac{1}{x+2}<0 \iff x<-2 \iff x\in(-\infty;-2). $$
Функция убывает на всей области определения. Асимптоты: $$x=-2$$ и $$y=0.$$
г) $$f(x)=x^3-1$$
Область определения:
$$D(f)=\mathbb{R}.$$
Область значений:
$$E(f)=\mathbb{R}.$$
Точка пересечения с осью $Oy$:
$$f(0)=0^3-1=-1,$$
значит, $$ (0;-1). $$
Точка пересечения с осью $Ox$:
$$ x^3-1=0 \\ x^3=1 \\ x=1 $$
Значит, $$ (1;0). $$
Знак функции:
$$ x^3-1>0 \iff x>1 \iff x\in(1;+\infty), $$
$$ x^3-1<0 \iff x<1 \iff x\in(-\infty;1). $$
Функция возрастает на всей области определения, экстремумов не имеет.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),\quad \left(\frac12;0\right),\quad x=0,\ y=-2.$$
б) $$D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=(-\infty;0],\quad (0;-81),\quad (3;0),\quad \text{ось симметрии } x=3.$$
в) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\quad \left(0;\frac12\right),\quad x=-2,\ y=0.$$
г) $$D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=\mathbb R,\quad (0;-1),\quad (1;0).$$
