Упр.9 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 13x-7y=6; б) x!+y!=(x+y)!;
в) 27x-9y=15; г) 1!+2!+…+x!=y^2.

Подробный ответ

а) $$13x-7y=6$$
Выразим $$y$$:
$$7y=13x-6,\qquad y=\frac{13x-6}{7}.$$
Чтобы $$y$$ было целым, число $$13x-6$$ должно делиться на $$7$$. Рассмотрим по модулю $$7$$:
$$13x-6 \equiv 6x-6 \equiv 0 \pmod 7,$$
откуда
$$6x \equiv 6 \pmod 7,\qquad x \equiv 1 \pmod 7.$$
Пусть $$x=7k+1$$. Тогда
$$y=\frac{13(7k+1)-6}{7}=\frac{91k+7}{7}=13k+1.$$
Значит, все целочисленные решения:
$$x=7k+1,\qquad y=13k+1,\qquad k\in \mathbb Z.$$
б) $$x!+y!=(x+y)!$$
Пусть $$x\le y$$. Тогда
$$x!+y!=y!\left(1+\frac{x!}{y!}\right)=(x+y)!.$$
Если $$x
Тогда получаем
$$x!+x!=(2x)!,$$
то есть
$$2x!=(2x)!.$$
Проверим натуральные значения. При $$x=1$$:
$$1!+1!=2!=(1+1)!,$$
равенство верно.
При $$x\ge 2$$ правая часть растёт быстрее, и равенство не выполняется.
Следовательно, единственное решение:
$$x=1,\qquad y=1.$$
в) $$27x-9y=15$$
Разделим уравнение на $$3$$:
$$9x-3y=5.$$
Тогда
$$3y=9x-5,\qquad y=\frac{9x-5}{3}=3x-\frac{5}{3}.$$
Правая часть не является целым числом при любом целом $$x$$, значит целых решений нет.
г) $$1!+2!+\dots+x!=y^2$$
Проверим первые значения $$x$$:
$$1!=1 \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1.$$
$$1!+2!=1+2=3,$$
это не квадрат целого числа.
$$1!+2!+3!=1+2+6=9 \Rightarrow y=\pm 3.$$
$$1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33,$$
это не квадрат целого числа.
При $$x\ge 4$$ сумма уже не может быть квадратом целого числа, так как между соседними квадратами нет подходящего значения.
Значит, решения дают только случаи $$x=1$$ и $$x=3$$:
$$x=1,\ y=\pm 1;\qquad x=3,\ y=\pm 3.$$