Упр.89 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=sin(arcsin(x)); б) y=arcsin(sin(x));
в) y=cos(2arccos(x)); г) y=arctg(tg(x)).
Используем свойства обратных тригонометрических функций.
$$y=\sin(\arcsin x)=x,$$
так как $$\arcsin x$$ определена при $$|x|\le 1$$, а её значения лежат в промежутке $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2}.$$
График — отрезок прямой $$y=x$$ при $$-1\le x\le 1.$$
$$y=\arcsin(\sin x).$$
Функция $$\arcsin$$ возвращает значение из промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ поэтому график получается периодическим и на каждом промежутке длины $$2\pi$$ имеет вид ломаной.
На основном промежутке:
$$ y= \begin{cases} x, & -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2},\\[4pt] \pi-x, & \frac{\pi}{2}\le x\le \frac{3\pi}{2}, \end{cases} $$
и далее повторяется с периодом $$2\pi.$$
$$y=\cos(2\arccos x).$$
Положим $$t=\arccos x,$$ тогда $$\cos t=x$$ и
$$ y=\cos 2t=2\cos^2 t-1=2x^2-1. $$
Область определения: $$-1\le x\le 1.$$
$$y=\arctg(\tg x).$$
Так как $$\arctg$$ принимает значения только из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то
$$ y=x,\qquad -\frac{\pi}{2}+ \pi n<x<\frac{\pi}{2}+ \pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
График — участки прямой $$y=x$$ на каждом таком промежутке, с выколотыми концами.
Ответ
а) $$y=x,\ -1\le x\le 1$$;
б) $$y=\arcsin(\sin x)$$ — периодическая ломаная с периодом $$2\pi$$;
в) $$y=2x^2-1,\ -1\le x\le 1$$;
г) $$y=x,\ -\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
