Упр.89 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 4-3x?x+2; б) x^2-2x=-x;
в) 1/x=4x; г) x^2+2x+2?x+1.

1. а) Рассмотрим неравенство $$4-3x \le x+2.$$

   Перенесём слагаемые:

   $$4-2 \le x+3x$$

   $$2 \le 4x$$

   $$x \ge 0{,}5.$$

2. б) Решим уравнение $$x^2-2x=-x.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2-2x+x=0$$

   $$x^2-x=0$$

   $$x(x-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$x_1=0,\quad x_2=1.$$

3. в) Решим уравнение $$\frac{1}{x}=4x.$$

   ОДЗ: $$x \ne 0.$$

   Умножим обе части на $$x$$:

   $$1=4x^2$$

   $$x^2=\frac14$$

   $$x=\pm \frac12.$$

4. г) Рассмотрим неравенство $$x^2+2x+2 \ge x+1.$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$x^2+2x+2-x-1 \ge 0$$

   $$x^2+x+1 \ge 0.$$

   Преобразуем:

   $$x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34.$$

   Так как $$\left(x+\frac12\right)^2 \ge 0,$$ то

   $$x^2+x+1>0$$

   при любом $$x.$$ Следовательно, неравенство верно для всех действительных чисел.

Ответ

а) $$x \in [0{,}5; +\infty).$$

б) $$x=0,\; 1.$$

в) $$x=-0{,}5,\; 0{,}5.$$

г) $$x \in (-\infty; +\infty).$$