Упр.88 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=vx+v(-x); б) y=v(log(2000; cos^2000(x)));
в) y=ctg(x/2)sin(x); г) y={cos(x)}.

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$$
Для существования выражения под корнями нужно одновременно:
$$x\ge 0,\qquad -x\ge 0.$$
Отсюда $$x=0.$$ Тогда
$$y(0)=\sqrt{0}+\sqrt{-0}=0.$$
Значит, график состоит из одной точки $$\,(0,0).$$
б) $$y=\sqrt{\log_{2000}\left(\cos^{2000}x\right)}$$
Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$\log_{2000}\left(\cos^{2000}x\right)\ge 0.$$
Так как основание $$2000>1,$$ то
$$\cos^{2000}x\ge 1.$$
Но при любом $$x$$ имеем $$|\cos x|\le 1,$$ значит $$\cos^{2000}x\le 1.$$ Следовательно,
$$\cos^{2000}x=1,\qquad \cos x=\pm 1,\qquad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
При этих значениях
$$y=\sqrt{\log_{2000}1}=0.$$
График — множество точек $$\left(\pi n,0\right),\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$y=\ctg\frac{x}{2}\sin x$$
Преобразуем выражение:
$$ y=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} =2\cos^2\frac{x}{2}. $$
Используем формулу:
$$2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x.$$
Значит, график функции совпадает с графиком $$y=1+\cos x,$$ но точки, где $$\ctg\frac{x}{2}$$ не определена, нужно исключить:
$$x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Итак, это график косинуса, сдвинутый вверх на 1, с выколотыми точками при $$x=2\pi n.$$
г) $$y=\{\cos x\}$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то дробная часть принимает значения:
$$ \{\cos x\}= \begin{cases} \cos x, & 0\le \cos x<1,\\ 0, & \cos x=1,\\ 1+\cos x, & -1\le \cos x<0. \end{cases} $$
Следовательно, график строится по частям:
- при $$\cos x\ge 0$$ он совпадает с графиком $$y=\cos x$$;
- при $$\cos x<0$$ это график $$y=1+\cos x.$$
В точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$ значения функции равны $$1,$$ а в точках $$x=\pi+2\pi n$$ — равны $$0.$$