Упр.86 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=|{x}-1/2|; б) y=2^log(2; x);
в) y=2^|log(2; x)|+1; г) y=log(x; x/2).

1. а) $$y=\left|x-\frac12\right|.$$

   Это график модуля от линейной функции. Распишем по частям:

   $$ y= \begin{cases} \frac12-x, & x<\frac12,\\ x-\frac12, & x\ge \frac12. \end{cases} $$

   График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(\frac12,0\right).$$

2. б) $$y=2^{\log_2 x}.$$

   По свойству логарифма и степени:

   $$2^{\log_2 x}=x,\quad x>0.$$

   Значит, график — луч прямой $$y=x$$ при $$x>0.$$

3. в) $$y=2^{|\log_2 x|+1}=2\cdot 2^{|\log_2 x|}.$$

   Рассмотрим случаи:

   $$ \log_2 x\ge 0 \;\; (x\ge 1): \quad y=2\cdot 2^{\log_2 x}=2x; $$

   $$ \log_2 x<0 \;\; (0<x<1): \quad y=2\cdot 2^{-\log_2 x}=\frac{2}{x}. $$

   Итак,

   $$ y= \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & 0<x<1,\\[4pt] 2x, & x\ge 1. \end{cases} $$

4. г) $$y=\log_x\frac{x}{2}.$$

   Используем формулу перехода к основанию:

   $$ y=\frac{\log_2\left(\frac{x}{2}\right)}{\log_2 x} $$

   или, что удобнее, преобразуем выражение:

   $$ y=\log_x x-\log_x 2=1-\log_x 2. $$

   Область определения:

   $$ x>0,\quad x\ne 1. $$

   График состоит из двух ветвей, имеет вертикальную асимптоту $$x=1$$ и проходит через точку $$\left(2,0\right).$$

Ответ

а) $$y=\left|x-\frac12\right|=\begin{cases}\frac12-x,& x<\frac12,\\ x-\frac12,& x\ge \frac12;\end{cases}$$
б) $$y=x,\ x>0;$$
в) $$y=\begin{cases}\dfrac{2}{x},& 0<x<1,\\ 2x,& x\ge 1;\end{cases}$$
г) $$y=\log_x\frac{x}{2}=1-\log_x 2,\ x>0,\ x\ne 1.$$