Упр.85 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=3x+|x|; б) y=|-x^2-x+2|;
в) y=2x-|x-3|; г) y=x^2-4|x|+3.
а) $$y=3x+|x|$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит
$$y=3x+x=4x.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит
$$y=3x-x=2x.$$
Следовательно, график состоит из двух лучей прямых $$y=4x$$ и $$y=2x$$, соединённых в точке $$\left(0,0\right)$$.
б) $$y=\left|-x^2-x+2\right|$$
Найдём нули выражения под модулем:
$$-x^2-x+2=0$$
$$x^2+x-2=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0,$$
откуда $$x=-2$$ и $$x=1$$.
Парабола $$y=-x^2-x+2$$ направлена ветвями вниз, её вершина:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot(-1)}=-\frac12,$$
$$y_0=-\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)+2=-\frac14+\frac12+2=\frac94.$$
После взятия модуля часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается симметрично вверх. Получаем график с точками пересечения с осью $$Ox$$ в точках $$(-2,0)$$ и $$\left(1,0\right)$$ и вершиной верхней дуги в точке $$\left(-\frac12,\frac94\right)$$.
в) $$y=2x-|x-3|$$
Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, значит
$$y=2x-\left(x-3\right)=x+3.$$
Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, значит
$$y=2x-\left(3-x\right)=3x-3.$$
График состоит из двух лучей прямых $$y=3x-3$$ и $$y=x+3$$, которые соединяются в точке $$\left(3,6\right)$$.
г) $$y=x^2-4|x|+3$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, и
$$y=x^2-4x+3=\left(x-2\right)^2-1.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и
$$y=x^2+4x+3=\left(x+2\right)^2-1.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$. Его вершины: $$\left(-2,-1\right)$$ и $$\left(2,-1\right)$$, а в точке $$\left(0,3\right)$$ график имеет излом.
Ответ
Графики функций получаются по кусочным формулам:
а) $$y=\begin{cases}2x, & x<0,\\ 4x, & x\ge 0;\end{cases}$$
б) $$y=\left|-x^2-x+2\right|;$$
в) $$y=\begin{cases}3x-3, & x<3,\\ x+3, & x\ge 3;\end{cases}$$
г) $$y=\begin{cases}x^2+4x+3, & x<0,\\ x^2-4x+3, & x\ge 0.\end{cases}$$
