Упр.83 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=2-3/(x+1); б) y=(x-2)^3-1;
в) y=(x^4+1)/x^4; г) y=4-(x+2)^4.
а) $$y=2-\frac{3}{x+1}$$
Найдём область определения:
$$x+1\ne 0,\quad x\ne -1.$$
$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{3}{(x+1)^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на каждом из промежутков области определения.
Найдём горизонтальную асимптоту:
$$\lim_{x\to\pm\infty}\left(2-\frac{3}{x+1}\right)=2.$$
Следовательно, $$y=2$$ — горизонтальная асимптота.
Нули функции:
$$2-\frac{3}{x+1}=0,\quad \frac{3}{x+1}=2,\quad x=\frac12.$$
Точка пересечения с осью $$Oy$$:
$$y(0)=2-3=-1.$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
б) $$y=(x-2)^3-1$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Производная:
$$y'(x)=3(x-2)^2\ge 0.$$
Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
Найдём нуль функции:
$$ (x-2)^3-1=0,\quad (x-2)^3=1,\quad x=3.$$
Точка пересечения с осью $$Oy$$:
$$y(0)=(-2)^3-1=-9.$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
в) $$y=\frac{x^4+1}{x^4}=1+\frac{1}{x^4}$$
Область определения:
$$x^4\ne 0,\quad x\ne 0,$$
поэтому
$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Производная:
$$y'(x)=\left(1+\frac{1}{x^4}\right)’=-\frac{4}{x^5}.$$
При $$x<0$$ имеем $$y'(x)>0,$$ значит, функция возрастает на $$(-\infty;0).$$
При $$x>0$$ имеем $$y'(x)<0,$$ значит, функция убывает на $$(0;+\infty).$$
Так как $$\frac{1}{x^4}>0,$$ то
$$y=1+\frac{1}{x^4}>1.$$
Следовательно,
$$E(y)=(1;+\infty).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Нулей нет, поскольку $$y>1.$$
г) $$y=4-(x+2)^4$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Производная:
$$y'(x)=-4(x+2)^3.$$
Если $$x<-2,$$ то $$y'(x)>0,$$ значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2].$$
Если $$x>-2,$$ то $$y'(x)<0,$$ значит, функция убывает на $$[-2;+\infty).$$
В точке $$x=-2$$ достигается максимум:
$$y(-2)=4-0=4.$$
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;4].$$
Нули функции:
$$4-(x+2)^4=0,\quad (x+2)^4=4,\quad x=-2\pm\sqrt2.$$
Точка пересечения с осью $$Oy$$:
$$y(0)=4-2^4=4-16=-12.$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ функция возрастает на области определения, $$y=2$$ — горизонтальная асимптота.
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает на всей числовой прямой.
в) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=(1;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty).$$
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;4],$$ максимум $$4$$ при $$x=-2.$$
