Упр.82 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=2sin(x)+3cos(x); б) y=(x^2+x-2)/(x^2-1);
в) y=cos(2x)-2cos(x); г) y=lg(sin(x)).
а) $$y=2\sin x+3\cos x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=2\cos x-3\sin x.$$
Преобразуем:
$$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x-\frac{3}{\sqrt{13}}\sin x\right)=\sqrt{13}\cos\left(x+\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}\right).$$
Тогда
$$y'(x)\ge 0 \iff \cos\left(x+\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\ge 0.$$
Отсюда:
$$-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,$$
$$\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n.$$
Следовательно, функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right],$$
убывает на
$$\left[\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right].$$
Минимум и максимум достигаются при
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,$$
$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n.$$
б) $$y=\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$$
Разложим на множители:
$$y=\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+2}{x+1}, \quad x\ne \pm 1.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(x+1)-(x+2)}{(x+1)^2}=-\frac{1}{(x+1)^2}<0.$$
Значит, функция убывает на каждом промежутке области определения:
$$(-\infty;-1),\quad (-1;1),\quad (1;+\infty).$$
в) $$y=\cos 2x-2\cos x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-2\sin 2x+2\sin x=2\sin x-2\sin 2x.$$
Преобразуем:
$$2\sin x-2\sin 2x=2\sin x-4\sin x\cos x=2\sin x(1-2\cos x).$$
Тогда
$$y'(x)\ge 0 \iff \sin x(1-2\cos x)\ge 0 \iff \sin x(2\cos x-1)\le 0.$$
Отсюда получаем промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ 2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right],$$
убывает на
$$\left[-\pi+2\pi n;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right].$$
Минимумы и максимум:
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\pi n.$$
г) $$y=\lg(\sin x)$$
Область определения задаётся условием:
$$\sin x>0.$$
На этой области функция $\lg t$ возрастает, а $\sin x$ возрастает на промежутке
$$[2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n],$$
и убывает на промежутке
$$[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pi+2\pi n].$$
Следовательно,
функция возрастает на
$$\left[2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$
убывает на
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right].$$
Максимум достигается при
$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Ответ
а) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right]$$; $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n$$, $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n$$.
б) убывает на $$(-\infty;-1)$$, $$(-1;1)$$, $$ (1;+\infty)$$.
в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ 2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$; $$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$x_{\max}=\pi n$$.
г) возрастает на $$\left[2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right]$$; $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$.
