Упр.82 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=3x-5; б) y=2x^2-7x+3;
в) y=2-1/4x; г) y=12-4x-x^2.
а) $$y=3x-5$$
Это линейная функция. Так как $$y'(x)=3>0$$, функция возрастает на всей области определения.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём точки пересечения с осями:
$$3x-5=0,\quad x=\frac{5}{3}.$$
При $$x=0$$ получаем $$y=-5$$.
Значит, график — прямая, проходящая через точки $$\left(0;-5\right)$$ и $$\left(\frac{5}{3};0\right)$$.
б) $$y=2x^2-7x+3$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, так как $$a=2>0$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=4x-7.$$
Критическая точка:
$$4x-7=0,\quad x=\frac{7}{4}.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac{7}{4}]$$ и возрастает на $$[\frac{7}{4};+\infty)$$.
Найдём вершину:
$$y\!\left(\frac{7}{4}\right)=2\left(\frac{7}{4}\right)^2-7\cdot\frac{7}{4}+3=-\frac{25}{8}.$$
Значит, вершина параболы: $$\left(\frac{7}{4};-\frac{25}{8}\right)$$, а наименьшее значение функции равно $$-\frac{25}{8}$$.
Область определения и множество значений:
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=\left[-\frac{25}{8};+\infty\right).$$
Найдём нули функции:
$$ 2x^2-7x+3=0, \\ D=49-24=25, \\ x_{1,2}=\frac{7\pm5}{4}. $$
Отсюда $$x_1=\frac{1}{2}, \; x_2=3$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=3$$.
Для построения удобно отметить точки $$\left(\frac{1}{2};0\right)$$, $$\left(3;0\right)$$, $$\left(0;3\right)$$ и вершину $$\left(\frac{7}{4};-\frac{25}{8}\right)$$.
в) $$y=2-\frac{1}{4}x$$
Это линейная функция. Так как $$y'(x)=-\frac{1}{4}<0$$, функция убывает на всей области определения.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём пересечения с осями:
$$ 2-\frac{1}{4}x=0, \\ \frac{1}{4}x=2, \\ x=8. $$
При $$x=0$$ получаем $$y=2$$.
График — прямая, проходящая через точки $$\left(0;2\right)$$ и $$\left(8;0\right)$$.
г) $$y=12-4x-x^2$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный.
Найдём производную:
$$y'(x)=-4-2x.$$
Критическая точка:
$$-4-2x=0,\quad x=-2.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и убывает на $$[-2;+\infty)$$.
Найдём вершину:
$$y(-2)=12-4\cdot(-2)-(-2)^2=16.$$
Значит, вершина параболы: $$(-2;16)$$, а наибольшее значение функции равно $$16$$.
Область определения и множество значений:
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;16].$$
Найдём нули функции:
$$ 12-4x-x^2=0, \\ x^2+4x-12=0, \\ D=16+48=64, \\ x_{1,2}=\frac{-4\pm8}{2}. $$
Отсюда $$x_1=-6,\; x_2=2$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=12$$.
Для построения удобно отметить точки $$(-6;0)$$, $$\left(2;0\right)$$, $$\left(0;12\right)$$ и вершину $$(-2;16)$$.
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty)$$; функция возрастает; нуль $$x=\frac{5}{3}$$; точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;-5\right)$$.
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac{25}{8};+\infty\right)$$; убывает на $$(-\infty;\frac{7}{4}]$$, возрастает на $$[\frac{7}{4};+\infty)$$; вершина $$\left(\frac{7}{4};-\frac{25}{8}\right)$$; нули $$x=\frac{1}{2}$$ и $$x=3$$.
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty)$$; функция убывает; нуль $$x=8$$; точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;2\right)$$.
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;16]$$; возрастает на $$(-\infty;-2]$$, убывает на $$[-2;+\infty)$$; вершина $$(-2;16)$$; нули $$x=-6$$ и $$x=2$$.
