Упр.81 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=2cos(2x)+sin^2(x); б) f(x)=1/v(2x^2-4x+3);
в) f(x)=2sin^2(x)-cos(2x); г) f(x)=cos^2(x)+cos(x)+3.

Подробный ответ

а) $$f(x)=2\cos 2x+\sin^2 x$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$ f(x)=2(1-2\sin^2 x)+\sin^2 x=2-3\sin^2 x. $$
Так как $$0\le \sin^2 x\le 1$$, то
$$ -3\le -3\sin^2 x\le 0, $$
значит,
$$ -1\le 2-3\sin^2 x\le 2. $$
Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшее значение: $$2$$.
б) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+3}}$$
Приведём выражение под корнем к квадрату:
$$ 2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1\ge 1. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{2x^2-4x+3}\ge 1, $$
а значит,
$$ 0<\frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+3}}\le 1. $$
Наибольшее значение функции равно $$1$$.
в) $$f(x)=2\sin^2 x-\cos 2x$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-\sin^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x$$:
$$ f(x)=2\sin^2 x-(1-2\sin^2 x)=4\sin^2 x-1. $$
Так как $$0\le \sin^2 x\le 1$$, то
$$ 0\le 4\sin^2 x\le 4, $$
значит,
$$ -1\le 4\sin^2 x-1\le 3. $$
Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшее значение: $$3$$.
г) $$f(x)=\cos^2 x+\cos x+3$$
Обозначим $$t=\cos x$$. Тогда $$-1\le t\le 1$$ и
$$ f=t^2+t+3. $$
Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина:
$$ t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}. $$
Значение в вершине:
$$ f\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12\right)^2-\frac12+3=\frac14-\frac12+3=\frac{11}{4}. $$
На концах отрезка $$[-1;1]$$:
$$ f(-1)=1-1+3=3,\qquad f(1)=1+1+3=5. $$
Следовательно, наименьшее значение равно $$\frac{11}{4}$$, наибольшее значение равно $$5$$.