Упр.81 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=4x^2+3x-1; б) y=1-2/x;
в) y=(x-1)^4-2; г) y=(x+4)/(x-1).
а) $$y=4x^2+3x-1$$
Найдём производную:
$$y'(x)=8x+3.$$
Критическая точка:
$$8x+3=0,\quad x=-\frac{3}{8}.$$
При $$x<-\frac{3}{8}$$ имеем $$y'(x)<0$$, а при $$x>-\frac{3}{8}$$ имеем $$y'(x)>0$$. Значит, функция убывает слева от этой точки и возрастает справа.
Следовательно, в точке $$x=-\frac{3}{8}$$ достигается минимум.
Найдём значение функции:
$$y\left(-\frac{3}{8}\right)=4\cdot\frac{9}{64}+3\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)-1=\frac{9}{16}-\frac{9}{8}-1=-\frac{25}{16}.$$
б) $$y=1-\frac{2}{x}$$, $$x\ne 0$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{2}{x^2}.$$
Так как $$\frac{2}{x^2}>0$$ при всех $$x\ne 0$$, функция возрастает на каждом промежутке области определения.
Точек максимума и минимума нет.
в) $$y=(x-1)^4-2$$
Найдём производную:
$$y'(x)=4(x-1)^3.$$
Если $$x<1$$, то $$y'(x)<0$$, а если $$x>1$$, то $$y'(x)>0$$. Значит, функция убывает до точки $$x=1$$ и возрастает после неё.
Следовательно, в точке $$x=1$$ достигается минимум.
$$y(1)=(1-1)^4-2=-2.$$
г) $$y=\frac{x+4}{x-1}$$, $$x\ne 1$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(x-1)-(x+4)}{(x-1)^2}=\frac{-5}{(x-1)^2}.$$
Так как $$\frac{-5}{(x-1)^2}<0$$ при всех $$x\ne 1$$, функция убывает на каждом промежутке области определения.
Точек максимума и минимума нет.
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;\,-\frac{3}{8}]$$, возрастает на $$[-\frac{3}{8};\,+\infty)$$; точка минимума: $$x=-\frac{3}{8}$$, $$y_{\min}=-\frac{25}{16}$$.
б) возрастает на $$(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$$; точек экстремума нет.
в) убывает на $$(-\infty;\,1]$$, возрастает на $$[1;\,+\infty)$$; точка минимума: $$x=1$$, $$y_{\min}=-2$$.
г) убывает на $$(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$$; точек экстремума нет.
