Упр.80 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 80. Докажите, что график любой дробно-линейной функции y=(ax+b)/(cx+d) (c?0 и ad-bc?0) может быть получен из графика y=k/x параллельным переносом. Укажите коэффициент k.

Подробный ответ

Преобразуем дробно-линейную функцию:

$$ y=\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a\left(x+\frac{b}{a}\right)}{c\left(x+\frac{d}{c}\right)} $$

Удобнее выделить постоянную часть, разделив числитель и знаменатель на $c$:

$$ y=\frac{a}{c}\cdot \frac{x+\frac{b}{a}}{x+\frac{d}{c}} $$

Представим числитель как сумму:

$$ x+\frac{b}{a}=\left(x+\frac{d}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}-\frac{d}{c}\right) $$

Тогда

$$ y=\frac{a}{c}\left(1+\frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}\right) =\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\cdot \frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}} $$

Следовательно,

$$ y=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\cdot \frac{1}{x+\frac{d}{c}} $$

Это график функции вида

$$ y=\frac{k}{x} $$

после параллельного переноса на $\left(-\frac{d}{c},\,\frac{a}{c}\right)$.

Коэффициент $k$ равен

$$ k=\frac{bc-ad}{c^2}. $$