Упр.79 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=sin(x), ?(x)=sin(x)+cos(x);
б) f(x)=sin^2(x), ?(x)=sin^4(x)+cos^4(x).

а) Преобразуем функцию:

$$ \varphi(x)=\sin x+\cos x $$
$$ \varphi(x)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) $$
$$ \varphi(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$
Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно:

• сдвинуть на $$\frac{\pi}{4}$$ влево;
• растянуть в $$\sqrt{2}$$ раза вдоль оси $$Oy$$.

б) Преобразуем функцию:

$$ \varphi(x)=\sin^4 x+\cos^4 x $$
$$ \varphi(x)=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x $$
$$ \varphi(x)=1-2\sin^2 x\cos^2 x $$
Так как
$$ \sin 2x=2\sin x\cos x, $$
то
$$ \sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x. $$
Следовательно,
$$ \varphi(x)=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x. $$

Значит, из графика $$y=\sin^2 x$$ нужно:

• сжать его в 2 раза вдоль оси $$Oy$$;
• сжать его в 2 раза вдоль оси $$Ox$$;
• отразить относительно оси $$Ox$$;
• переместить на 1 единицу вверх.

Ответ

а) Сдвинуть график $$y=\sin x$$ на $$\frac{\pi}{4}$$ влево и растянуть в $$\sqrt{2}$$ раза вдоль оси $$Oy$$.
б) Отразить график $$y=\sin^2 x$$ относительно оси $$Ox$$, сжать в 2 раза вдоль осей $$Ox$$ и $$Oy$$, затем сдвинуть на 1 единицу вверх.