Упр.71 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите сумму log(2; v3-1)+log(2; v6+2).

Обозначим

$$A=\log_2(\sqrt{3}+1)+\log_2(\sqrt{6}-2).$$

Тогда нужно найти

$$S=\log_2(\sqrt{3}-1)+\log_2(\sqrt{6}+2).$$

Используем формулу

$$\log_2 x=\log_2\frac{2x}{2}=1+\log_2 x-\log_2 2,$$

а удобнее сразу преобразуем каждое слагаемое:

$$\log_2(\sqrt{3}-1)=\log_2\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1}=\log_2\frac{2}{\sqrt{3}+1}=1-\log_2(\sqrt{3}+1),$$

$$\log_2(\sqrt{6}+2)=\log_2\frac{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}{\sqrt{6}-2}=\log_2\frac{2}{\sqrt{6}-2}=1-\log_2(\sqrt{6}-2).$$

Тогда

$$S=\bigl(1-\log_2(\sqrt{3}+1)\bigr)+\bigl(1-\log_2(\sqrt{6}-2)\bigr)=2-A.$$

Ответ

$$2-A$$