Упр.7 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 7. Докажите признаки делимости на: а) 5; б) 3; в) 9.

Пусть число $$b$$ записано в десятичной системе счисления:

$$b=a_0+10a_1+10^2a_2+\dots+10^ka_k,$$

где $$a_0,a_1,\dots,a_k$$ — цифры числа $$b$$.

1. Признак делимости на 5.

   Так как $$10,10^2,\dots,10^k$$ делятся на $$5$$, то

   $$10a_1+10^2a_2+\dots+10^ka_k$$ делится на $$5$$.

   Следовательно, число $$b$$ делится на $$5$$ тогда и только тогда, когда на $$5$$ делится его последняя цифра $$a_0$$. Значит, $$a_0=0$$ или $$a_0=5$$.

2. Признак делимости на 3.

   Представим число так:

   $$b=(9a_1+99a_2+\dots)+(a_0+a_1+\dots+a_k).$$

   Так как $$9,99,\dots$$ делятся на $$3$$, то первая скобка делится на $$3$$. Поэтому число $$b$$ делится на $$3$$ тогда и только тогда, когда делится на $$3$$ сумма его цифр:

   $$a_0+a_1+\dots+a_k.$$

3. Признак делимости на 9.

   Аналогично,

   $$b=(9a_1+99a_2+\dots)+(a_0+a_1+\dots+a_k).$$

   Так как $$9,99,\dots$$ делятся на $$9$$, то число $$b$$ делится на $$9$$ тогда и только тогда, когда делится на $$9$$ сумма его цифр:

   $$a_0+a_1+\dots+a_k.$$

Ответ

Число делится на $$5$$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна $$0$$ или $$5$$; на $$3$$ — тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$3$$; на $$9$$ — тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$9$$.