Упр.7 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Прологарифмируйте по основанию а выражение (c > 0, b > 0):
a) 16b^7 c^(1/5) при a=2; б) c^4/(100^(1/3) b^n) при a=10;
в) 27vb/c^4 при a=3; г) 0,49b^3/(c^5 vc) при a=0,7.
3) Найдите х, если:
а) log(3; x)=2log(3; 7)+(2/3)log(3; 27)-(3/2)log(3; 16);
б) log(2; x)=2log(2; 5)-(1/3)log(2; 8)+log(2; 0,2);
в) log(5; x)=log(5; 1,5)+(1/3)log(5; 8);
г) lg(x)=1+2lg(3)-(2/3)lg(125).

1) Основные свойства логарифмов:

$$\log_a 1=0,$$
$$\log_a a=1,$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,$$
$$\log_a x^p=p\log_a x.$$

2) Прологарифмируем по основанию $a$:

1. $$\log_2\left(16b^7\sqrt[5]{c}\right)=\log_2 2^4+\log_2 b^7+\log_2 c^{1/5}$$
   $$=4+7\log_2 b+\frac{1}{5}\log_2 c.$$
2. $$\log_{10}\left(\frac{c^4}{\sqrt[3]{100b^n}}\right)=\log_{10}c^4-\log_{10}100^{1/3}-\log_{10}b^n$$
   $$=4\log_{10}c-\frac{2}{3}-n\log_{10}b.$$
3. $$\log_3\left(\frac{27\sqrt{b}}{c^4}\right)=\log_3 3^3+\log_3 b^{1/2}-\log_3 c^4$$
   $$=3+\frac{1}{2}\log_3 b-4\log_3 c.$$
4. $$\log_{0,7}\left(\frac{0,49b^3}{c^5\sqrt{c}}\right)=\log_{0,7}0,7^2+\log_{0,7}b^3-\log_{0,7}c^{5+\frac12}$$
   $$=2+3\log_{0,7}b-5,5\log_{0,7}c.$$

3) Найдём $x$:

1. $$\log_3 x=2\log_3 7+\frac{2}{3}\log_3 27-\frac{3}{2}\log_3 16$$
   $$=\log_3\left(7^2\cdot 27^{2/3}\cdot 16^{-3/2}\right)$$
   $$=\log_3\left(\frac{49\cdot 9}{64}\right)=\log_3\frac{441}{64}.$$
   Значит,
   $$x=\frac{441}{64}.$$
2. $$\log_2 x=2\log_2 5-\frac{1}{3}\log_2 8+\log_2 0,2$$
   $$=\log_2\left(5^2\cdot 0,2\cdot 8^{-1/3}\right)$$
   $$=\log_2\left(\frac{25\cdot 0,2}{2}\right)=\log_2 2,5.$$
   Значит,
   $$x=2,5.$$
3. $$\log_5 x=\log_5 1,5+\frac{1}{3}\log_5 8$$
   $$=\log_5\left(1,5\cdot 8^{1/3}\right)=\log_5(1,5\cdot 2)=\log_5 3.$$
   Значит,
   $$x=3.$$
4. $$\lg x=1+2\lg 3-\frac{2}{3}\lg 125$$
   $$=\lg 10+\lg 3^2-\lg 125^{2/3}$$
   $$=\lg\left(\frac{10\cdot 9}{25}\right)=\lg 3,6.$$
   Значит,
   $$x=3,6.$$

Ответ

1) $$\log_a 1=0,\ \log_a a=1,\ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,\ \log_a x^p=p\log_a x.$$
2) а) $$4+7\log_2 b+\frac{1}{5}\log_2 c$$; б) $$4\log_{10}c-\frac{2}{3}-n\log_{10}b$$; в) $$3+\frac{1}{2}\log_3 b-4\log_3 c$$; г) $$2+3\log_{0,7}b-5,5\log_{0,7}c$$.
3) а) $$x=\frac{441}{64}$$; б) $$x=2,5$$; в) $$x=3$$; г) $$x=3,6$$.