Упр.69 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 69. Найдите функции f_2(x)=f(f(x)), f_3(x)=f(f(f(x))) и т. д., f_n(x)=f(f(f…(f(x))…)) и область определения f_n(x), если: а) f(x)=1/x; б) f(x)=1/(1-x).
а) $$f(x)=3-x$$
Найдём несколько первых итераций:
$$f_2(x)=f(f(x))=3-(3-x)=x,$$
$$f_3(x)=f(f_2(x))=f(x)=3-x.$$
Значит, значения функций чередуются:
$$f_n(x)= \begin{cases} x, & \text{при чётном } n,\\ 3-x, & \text{при нечётном } n. \end{cases}$$
Так как это линейная функция, область определения не ограничена:
$$D(f_n)=(-\infty;+\infty).$$
б) $$f(x)=\frac{1}{x}$$
Вычислим первые итерации:
$$f_2(x)=f(f(x))=f\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{1/x}=x,$$
$$f_3(x)=f(f_2(x))=f(x)=\frac{1}{x}.$$
Следовательно,
$$f_n(x)= \begin{cases} x, & \text{при чётном } n,\\ \dfrac{1}{x}, & \text{при нечётном } n. \end{cases}$$
Для всех итераций необходимо, чтобы знаменатель не обращался в нуль, поэтому
$$x\ne 0.$$
в) $$f(x)=\frac{1}{1-x}$$
Найдём несколько первых членов:
$$f_2(x)=f(f(x))= \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x},$$
$$f_3(x)=f(f_2(x))=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}} =\frac{1}{\frac{1}{x}} =x.$$
Далее значения повторяются с периодом 3:
$$f_4(x)=f(x)=\frac{1}{1-x}, \quad f_5(x)=\frac{x-1}{x}, \quad f_6(x)=x.$$
Значит,
$$f_n(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, & \text{при } n=3k+1,\\[6pt] \dfrac{x-1}{x}, & \text{при } n=3k+2,\\[6pt] x, & \text{при } n=3k, \end{cases} \quad k\in \mathbb{N}\cup\{0\}.$$
Для существования всех итераций нужно, чтобы не обращались в нуль знаменатели:
$$x\ne 1,\qquad x\ne 0.$$
При $n=1$ достаточно условия $$x\ne 1.$$
Ответ
а) $$f_n(x)=x$$ при чётном $n$, $$f_n(x)=3-x$$ при нечётном $n$; $$D(f_n)=(-\infty;+\infty).$$
б) $$f_n(x)=x$$ при чётном $n$, $$f_n(x)=\dfrac{1}{x}$$ при нечётном $n$; $$x\ne 0.$$
в) $$f_n(x)=\dfrac{1}{1-x}$$ при $n=3k+1$, $$f_n(x)=\dfrac{x-1}{x}$$ при $n=3k+2$, $$f_n(x)=x$$ при $n=3k$; $$x\ne 1,\ x\ne 0$$ при $n\ge 2$, $$x\ne 1$$ при $n=1$.
