Упр.68 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 68. Среди функций вида f(x)=ax+b найдите все такие, что для любого х: а) f(f(x))=f(x); б) f(f(x))=x.

Пусть $$f(x)=ax+b.$$ Тогда

$$f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b.$$

1. Если $$f(f(x))=f(x)$$ для любого $$x$$, то

   $$a^2x+ab+b=ax+b.$$

   Сравнивая коэффициенты при $$x$$ и свободные члены, получаем:

   $$a^2=a,$$
   $$ab+b=b.$$

   Из $$a^2=a$$ имеем $$a=0$$ или $$a=1$$.

   1) Если $$a=0$$, то $$f(x)=b$$ — постоянная функция, и условие выполняется при любом $$b$$.

   2) Если $$a=1$$, то из $$ab+b=b$$ получаем $$2b=b$$, значит $$b=0$$.

   Тогда $$f(x)=x.$$

2. Если $$f(f(x))=x$$ для любого $$x$$, то

   $$a^2x+ab+b=x.$$

   Сравнивая коэффициенты, получаем:

   $$a^2=1,$$
   $$ab+b=0.$$

   Из $$a^2=1$$ следует $$a=-1$$ или $$a=1$$.

   1) Если $$a=1$$, то $$2b=0$$, значит $$b=0$$, и $$f(x)=x.$$

   2) Если $$a=-1$$, то $$-b+b=0$$, то есть условие выполняется при любом $$b$$.

   Тогда $$f(x)=-x+b=b-x.$$

Ответ

а) $$f(x)=b$$ или $$f(x)=x$$;
б) $$f(x)=b-x$$ или $$f(x)=x$$.