Упр.68 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) log(4; x)=2log(4; 10)+3/4log(4; 81)-2/3log(4; 125);
б) log(1/3; x)=1/2log(1/3; 16)-log(1/3; 8)+log(1/3; 28).

1. а) Используем свойства логарифмов:

   $$ \log_4 x=2\log_4 10+\frac34\log_4 81-\frac23\log_4 125 $$

   $$ 2\log_4 10=\log_4 10^2,\quad \frac34\log_4 81=\log_4 81^{3/4},\quad \frac23\log_4 125=\log_4 125^{2/3} $$

   Тогда

   $$ \log_4 x=\log_4\!\left(10^2\cdot 81^{3/4}\!:\!125^{2/3}\right) $$

   Вычислим степени:

   $$ 81^{3/4}=(3^4)^{3/4}=3^3=27,\qquad 125^{2/3}=(5^3)^{2/3}=5^2=25 $$

   Значит,

   $$ \log_4 x=\log_4\!\left(\frac{100\cdot 27}{25}\right)=\log_4 108 $$

   Следовательно, $$x=108$$.

2. б) Аналогично:

   $$ \log_{1/3} x=\frac12\log_{1/3}16-\log_{1/3}8+\log_{1/3}28 $$

   $$ \frac12\log_{1/3}16=\log_{1/3}16^{1/2},\qquad -\log_{1/3}8=\log_{1/3}8^{-1} $$

   Тогда

   $$ \log_{1/3} x=\log_{1/3}\!\left(16^{1/2}:8\cdot 28\right) $$

   Так как $$16^{1/2}=4,$$ получаем

   $$ \log_{1/3} x=\log_{1/3}\!\left(\frac{4\cdot 28}{8}\right)=\log_{1/3}14 $$

   Следовательно, $$x=14$$.

Ответ

а) $$108$$; б) $$14$$.