Упр.67 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 67. При каких n функция f может иметь ровно n точек экстремума, если известно, что f: а) четная; б) нечетная; в) периодическая функция?

а) Если функция чётная, то вместе с каждой точкой экстремума $$a$$ существует симметричная ей точка $$-a$$. При этом значения функции в этих точках одинаковы: $$f(a)=f(-a)$$. Поэтому число точек экстремума может быть любым.

б) Если функция нечётная, то вместе с каждой точкой экстремума $$a$$ существует точка $$-a$$, причём $$f(-a)=-f(a)$$. Значит, точки экстремума идут попарно, и их число должно быть чётным.

в) Если функция периодическая, то из наличия одной точки экстремума следует бесконечное множество таких точек: $$a,\ a+T,\ a+2T,\dots$$, где $$T$$ — период функции. Следовательно, ровно $$n$$ точек экстремума быть не может.

Ответ

а) при любом $$n$$; б) при чётном $$n$$; в) таких $$n$$ нет.