Упр.61 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=cos^3(x); б) y=v|sin(2x)|;
в) y=cos(xv2)+cos(x/v2); г) y={-1-2x}.

а) $$y=\cos^3 x$$

Функция $$\cos x$$ имеет наименьший положительный период $$2\pi$$. Возведение в третью степень период не изменяет, поэтому

$$T=2\pi.$$

б) $$y=\sqrt{|\sin 2x|}$$

Найдём период выражения под корнем:

$$|\sin 2(x+T)|=|\sin 2x|.$$

Так как модуль устраняет смену знака, достаточно, чтобы

$$\sin(2x+2T)=\pm \sin 2x.$$

Минимальное положительное значение $$T$$ получается при

$$2T=\pi,\qquad T=\frac{\pi}{2}.$$

в) $$y=\cos(x\sqrt2)+\cos\frac{x}{\sqrt2}$$

Для первого слагаемого:

$$T_1=\frac{2\pi}{\sqrt2}=\sqrt2\,\pi.$$

Для второго слагаемого:

$$T_2=2\pi\sqrt2.$$

Ищем наименьший общий период. Так как

$$T_2=2T_1,$$

то наименьший положительный период суммы равен

$$T=2\sqrt2\,\pi.$$

г) $$y=\{-1-2x\}$$

Здесь $$\{\,\cdot\,\}$$ — дробная часть. Для периода нужно, чтобы аргумент увеличивался на целое число:

$$-1-2(x+T)=(-1-2x)-1.$$

Тогда

$$2T=1,\qquad T=\frac12.$$

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$2\sqrt2\,\pi$$; г) $$\frac12$$.