Упр.60 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) lg(sin(32°))·lg(cos(7°))·lg(tg(40°))·lg(ctg(20°));
б) lg(tg(2°))+lg(tg(4°))+lg(ctg(2°))+lg(ctg(4°)).

а) Рассмотрим знаки множителей:

$$0<\sin 32^\circ<1,\quad 0<\cos 7^\circ<1,\quad 0<\tg 40^\circ<1,\quad \ctg 20^\circ>1.$$

Тогда

$$\lg(\sin 32^\circ)<0,\quad \lg(\cos 7^\circ)<0,\quad \lg(\tg 40^\circ)<0,\quad \lg(\ctg 20^\circ)>0.$$

Произведение трёх отрицательных и одного положительного числа отрицательно:

$$\lg(\sin 32^\circ)\cdot \lg(\cos 7^\circ)\cdot \lg(\tg 40^\circ)\cdot \lg(\ctg 20^\circ)<0.$$

б) Преобразуем сумму, используя свойство логарифмов:

$$\lg(\tg 2^\circ)+\lg(\tg 4^\circ)+\lg(\ctg 2^\circ)+\lg(\ctg 4^\circ)$$
$$=\lg(\tg 2^\circ\cdot \tg 4^\circ\cdot \ctg 2^\circ\cdot \ctg 4^\circ).$$

Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то

$$\tg 2^\circ\cdot \ctg 2^\circ=1,\quad \tg 4^\circ\cdot \ctg 4^\circ=1,$$

следовательно,

$$\lg(\tg 2^\circ\cdot \tg 4^\circ\cdot \ctg 2^\circ\cdot \ctg 4^\circ)=\lg 1=0.$$

Ответ

а) $$<0$$; б) $$0$$.