Упр.6 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Выпишите формулы для приближенного вычисления значений функции:
а) f(x)=x^n; б) f(x)=cos(x);
в) f(x)=vx; г) f(x)=1/x.
3) Вычислите приближенные значения:
а) 1/1,001^10; б) sin(59°);
в) v(9,009); г) 0,999^15.

1) Для дифференцируемой в точке $$x_0$$ функции приближённое значение находят по формуле

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x,$$

где $$\Delta x=x-x_0.$$

2) Найдём формулы приближённого вычисления для заданных функций:

а) для $$f(x)=x^n$$:

$$f(x)\approx x_0^n+n x_0^{\,n-1}\Delta x;$$

б) для $$f(x)=\cos x$$:

$$f(x)\approx \cos x_0-\sin x_0\,\Delta x;$$

в) для $$f(x)=\sqrt{x}$$:

$$f(x)\approx \sqrt{x_0}+\frac{\Delta x}{2\sqrt{x_0}};$$

г) для $$f(x)=\frac{1}{x}$$:

$$f(x)\approx \frac{1}{x_0}-\frac{\Delta x}{x_0^2}.$$

3) Вычислим приближённые значения.

а) $$\frac{1}{1{,}001^{10}}$$. Возьмём $$f(x)=x^{-10}$$, $$x_0=1$$, $$\Delta x=0{,}001$$:

$$f(x)\approx 1-10\cdot 0{,}001=0{,}99.$$

б) $$\sin 59^\circ$$. Возьмём $$f(x)=\sin x$$, $$x_0=60^\circ=\frac{\pi}{3}$$, $$\Delta x=-1^\circ=-\frac{\pi}{180}$$:

$$\sin 59^\circ \approx \sin \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{3}\cdot\left(-\frac{\pi}{180}\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{360}\approx 0{,}8573.$$

в) $$\sqrt{9{,}009}$$. Возьмём $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$x_0=9$$, $$\Delta x=0{,}009$$:

$$\sqrt{9{,}009}\approx 3+\frac{0{,}009}{2\cdot 3}=3{,}0015.$$

г) $$0{,}999^{15}$$. Возьмём $$f(x)=x^{15}$$, $$x_0=1$$, $$\Delta x=-0{,}001$$:

$$f(x)\approx 1+15\cdot(-0{,}001)=0{,}985.$$

Ответ

1) $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x.$$

2) а) $$x_0^n+n x_0^{\,n-1}\Delta x$$; б) $$\cos x_0-\sin x_0\,\Delta x$$; в) $$\sqrt{x_0}+\dfrac{\Delta x}{2\sqrt{x_0}}$$; г) $$\dfrac{1}{x_0}-\dfrac{\Delta x}{x_0^2}.$$

3) а) $$0{,}99$$; б) $$0{,}8573$$; в) $$3{,}0015$$; г) $$0{,}985$$.