Упр.6 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:
а) sin(-13?/8); б) ctg(21?/13); в) tg(-14?/3); г) cos(8?/3).
3) Упростите выражение:
а) sin(7?/8)+cos(5?/8)+tg(7?/4);
б) (sin(?-?)cos(?+?)tg(-?))/(sin(?-3?/2)ctg(3?/2+?)cos(?+?/2));
в) ctg(9?/4)+sin(37?/12)-cos(7?/12);
г) (sin(?-?)tg(?/2+?))/(cos(3?/2+?)ctg(?-?)).
1) Для формул приведения удобно запомнить правило: перед приведённой функцией ставится знак исходной функции при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$, а сама функция меняется на кофункцию, если число $$n$$ нечётно, и не меняется, если $$n$$ чётно.
Например:
$$\varphi=\frac{n\pi}{2}+\alpha,\quad \sin\varphi,\ \cos\varphi,\ \tg\varphi,\ \ctg\varphi.$$
Несколько формул приведения:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,$$
$$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg\alpha,\qquad \ctg\left(\pi-\alpha\right)=-\ctg\alpha.$$
2) Приведём функции к значению с наименьшим положительным аргументом:
$$\sin\left(-\frac{13\pi}{8}\right)=\sin\left(2\pi-\frac{13\pi}{8}\right)=\sin\frac{3\pi}{8};$$
$$\ctg\left(\frac{21\pi}{13}\right)=-\ctg\left(2\pi-\frac{21\pi}{13}\right)=-\ctg\frac{5\pi}{13};$$
$$\tg\left(-\frac{14\pi}{3}\right)=\tg\left(5\pi-\frac{14\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{3};$$
$$\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)=-\cos\left(3\pi-\frac{8\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}.$$
3) Упростим выражения:
а)
$$\sin\frac{7\pi}{8}+\cos\frac{5\pi}{8}+\tg\frac{7\pi}{4}$$
$$=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\tg\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=\sin\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}-1=-1.$$
б)
$$\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tg(-\alpha)}{\sin\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}$$
$$=\frac{\sin\alpha\cdot(-\cos\alpha)\cdot(-\tg\alpha)}{\cos\alpha\cdot(-\tg\alpha)\cdot(-\sin\alpha)}=1.$$
в)
$$\ctg\frac{9\pi}{4}+\sin\frac{37\pi}{12}-\cos\frac{7\pi}{12}$$
$$=\ctg\left(2\pi+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(3\pi+\frac{\pi}{12}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$$
$$=\ctg\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}=1.$$
г)
$$\frac{\sin(\alpha-\pi)\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\ctg(\alpha-\pi)}$$
$$=\frac{(-\sin\alpha)\cdot(-\ctg\alpha)}{\sin\alpha\cdot\ctg\alpha}=1.$$
Ответ
1) Перед приведённой функцией ставится знак исходной функции; функция меняется на кофункцию при нечётном $$n$$ и не меняется при чётном $$n$$.
2) а) $$\sin\frac{3\pi}{8}$$; б) $$-\ctg\frac{5\pi}{13}$$; в) $$\tg\frac{\pi}{3}$$; г) $$-\cos\frac{\pi}{3}$$.
3) а) $$-1$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.
