Упр.6 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 6. Докажите, что если дробь a/b несократима, то несократима и дробь ab/(a+b).

Подробный ответ

Докажем от противного. Предположим, что дробь $$\frac{ab}{a+b}$$ сократима. Тогда существует число $$k>1$$, на которое делятся и числитель, и знаменатель:

$$ab : k,\qquad a+b : k.$$

Из делимости $$ab$$ на $$k$$ следует, что хотя бы один из множителей $$a$$ или $$b$$ делится на $$k$$. Пусть, например, $$a : k$$. Тогда из делимости суммы $$a+b$$ на $$k$$ получаем, что и $$b : k$$.

Значит, и числитель $$\frac{a}{b}$$, и знаменатель делятся на $$k$$, то есть дробь $$\frac{a}{b}$$ сократима. Это противоречит условию.

Следовательно, дробь $$\frac{ab}{a+b}$$ несократима.